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Myanmar, Nepal, Pakistan, China, Japan, Nord- und Süd-
Korea).
Bei Übersetzung zwischen dem Englischen und Deut-
schen muss daher bei der verbalisierten Angabe von Größen-
ordnungen oberhalb von einer Million (sowie unterhalb von
einem Millionstel) sehr genau die in der jeweiligen Sprache
verwendete Konvention beachtet werden. Ansonsten schlei-
chen sich unvermittelt Fehler um einen Faktor von 1000 ein,
etwa wenn die englische
billion
im Deutschen falsch als Bil-
lion statt Milliarde übersetzt wird.
Ein Vorteil der kurzen Einteilung mag darin liegen, dass
einheitlich der Faktor 1000 als Inkrement verwendet wird.
Noch einfacher und eindeutiger ist allerdings die Verwen-
dung von Präfixen vor den Grundeinheiten bzw. von Fakto-
ren bei der Angabe numerischer Werte, so wie es das von der
11. General Conference on Weights and Measures
im Jahr
1960 beschlossene Einheitensystem (SI) empfiehlt.
Tab. 7.10
Skalare, Vektoren und Tensoren
Stufe des
Tensors
Elemente Notation
(willkürliche Buchstaben)
Name
(
Beispiel
)
1
a
Skalar
1
3
v
D
v
i
Vektor
(
Geschwindigkeit
)
¢
D
¢
ij
2
9
Tensor
(
Spannungstensor
)
3
27
•
D
•
ijk
Tensor
4
81
E
D E
ijkl
Tensor
(
Elastizitätstensor
)
Das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ergibt einen
Vektor:
0
1
ax
1
ax
2
ax
3
@
A
D
ax
i
I
a
x
D
Das Skalarprodukt zweier Vektoren (
x
y
) ergibt einen
Skalar:
7.4 Einige Rechenregeln
für Vektoren und Tensoren
0
1
0
1
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
@
A
@
A
D
x
1
y
1
C
x
2
y
2
C
x
3
y
3
D
x
i
y
i
D
a
I
Die Gleichungen in diesem Buch verwenden Skalare, Vek-
toren und Tensoren, wobei der Überbegriff „Tensor“ alle
Kategorien umfasst: Dabei entspricht die Stufe eines Tensors
der (unbeschränkten) Anzahl seiner freien Indices. In diesem
Buch werden Vektoren fett und Tensoren fett und unterstri-
chen gedruckt, außer in Indexschreibweise:
x
D
x
i
;
T
D
T
ik
,
bei der die Indices i, j und k die Werte 1, 2 und 3 durchlaufen
zuerst. Damit sind Vektoren als dreizeilige Spaltenvektoren
zu verstehen, ihre Transponierten als dreispaltige Zeilenvek-
toren:
x
y
D
Das Vektor- bzw. Kreuzprodukt zweier Vektoren (
x
y
)
ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
0
1
e
1
e
2
e
3
x
2
y
3
x
3
y
2
x
3
y
1
x
1
y
3
x
1
y
2
x
2
y
1
@
A
x
y
D
D
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
0
1
v
1
v
2
v
3
@
A
D
v
D
.
e
i
: Einheitsvektor in i-Richtung
/I
0
1
v
1
v
2
v
3
Das Tensor- bzw. dyadisches Produkt zweier Vektoren
(
x
˝
y
bzw.
xy
) ergibt einen Tensor:
@
A
I
v
D
D
v
1
;
v
3
:
0
1
A
y
1
;
v
T
x
1
x
2
x
3
v
2
;
y
3
x
˝
y
D
T
ik
:
D
xy
T
@
D
y
2
;
Tensoren gleicher Stufe können komponentenweise addiert
werden. Verschiedene Arten von Produkten sind zwischen
Tensoren unterschiedlicher Stufe möglich, von denen hier
eine Auswahl gezeigt wird (für eine ausführlichere und
dennoch knappe Zusammenstellung der verschiedenen Re-
Dabei werden beide Schreibweisen verwendet und bei der
Indexschreibweise zudem die einsteinsche Summenkonven-
tion
75
, nach der über doppelt auftretende Indices summiert
wird:
0
1
x
1
y
1
x
1
y
2
x
1
y
3
@
A
D
x
i
y
k
D .
T
D
x
2
y
1
x
2
y
2
x
2
y
3
y
k
x
i
/
:
x
3
y
1
x
3
y
2
x
3
y
3
Das Produkt eines Vektors mit einem Tensor ergibt einen
Vektor:
0
1
T
11
T
12
T
13
x
T
D
x
T
T
D
x
1
;
x
3
@
A
x
2
;
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
0
1
0
1
75
Von Albert Einstein im Jahr 1916 im Zusammenhang mit der For-
mulierung der allgemeinen Relativitätstheorie eingeführte Kurznotation
für Summen, durch die Tensorprodukte kompakter geschrieben werden
können.
x
1
T
11
C
x
2
T
21
C
x
3
T
31
x
1
T
12
C
x
2
T
22
C
x
3
T
32
x
1
T
13
C
x
2
T
23
C
x
3
T
33
v
1
v
2
v
3
@
A
D
x
i
T
ik
@
A
D
v
D
D
