Geoscience Reference
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dT
=
dz
D .
T
u
T
o
/=`
auflöst. Mit den Parameterwerten
Frage 6.4
D 1000
kgm
3
,
D 10
3
K
1
,
¡
f
'
f
D 13;3
mPa s (für
Advektiver und konduktiver Wärmetransport:
D 4;2
kJ kg
1
K
1
,
œ D 3;3
Wm
1
K
1
,
T
100
°C), c
f
g
10
ms
2
erhält man:
dT
dz
(a) Wie lautet die Gleichung für die advektive Wärme-
stromdichte q
adv
, die von einer Strömung der spezifi-
schen Volumenstromrate (Darcy-Geschwindigkeit) v
und thermischen Kapazität (
¡
c
/
f
über eine Strecke L
mit der Temperaturdifferenz
T hinweg transportiert
wird?
(b) Wie lautet die Gleichung für die diffusive Wärme-
stromdichte q
diff
über dieselbe Distanz in einem Ma-
terial mit der Gesamt-Wärmeleitfähigkeit
œ
?
(c) Leiten Sie aus beiden Termen den Ausdruck für die
entsprechende eindimensionale Péclet-Zahl her.
4;13 10
10
k
`
2
krit
:
(6.210)
Bei einem mittleren Temperaturgradienten von etwa
20mKm
1
-30mKm
1
, wie in vielen Regionen Mittel-
europas, erfordert das Einsetzen freier Konvektion einen
Wer t von
`
2
1;4 10
8
m
4
s
1
für das Produkt aus Permeabilität und quadrierter Schicht-
mächtigkeit. Eine Schicht von 10m bzw. 100m Mächtigkeit
bedürfte somit einer Permeabilität in der Größenordnung
von
10
10
m
2
s
1
bzw.
10
12
m
2
s
1
, damit sich freie
Konvektion entwickeln kann. Dies sind Werte sehr guter
Reservoirgesteine.
2;1 10
8
m
4
s
1
k
Frage 6.5
Mächtigkeit ozeanischer Lithosphäre:
Schätzen Sie die Mächtigkeit einer neun Millionen Jahre
alten ozeanischen Lithosphäre, deren thermische Diffu-
sivität
› D 1;5 10
6
m
2
s
1
beträgt. Die Unterkante
der Lithosphäre sei durch eine dimensionslose Tempera-
tur von
‚ D 0;1
definiert. Welche Tiefe ergäbe sich für
eine thermische Diffusivität von
› D 1;0 10
6
m
2
s
1
?
6.6 Aufgaben und Fragen
Frage 6.1
Thermodynamische Potenziale:
(a) Drücken Sie mit Hilfe der eindimensionalen Legen-
dre-Transformation die Enthalpie H(S, p) durch die
Innere Energie U
.
S
;
V
/ D
TS
pV aus.
(b) Benutzen Sie diesen Ausdruck für die Enthalpie H,
um die Änderung der Enthalpie dH
.
S
;
p
/
anzugeben.
Frage 6.6
Dimensionsanalyse thermischer Systeme in der Kruste:
(a) Die 46,5 °C warmen Quellen im englischen Bath, de-
ren Gesamtschüttung von 15 L s
1
über eine horizon-
tale Distanz von ca. 5 km austritt, waren schon den
Römern bekannt. Sie werden gespeist durch einen
Grundwasserstrom bis in ca. 4,3 km Tiefe aus den
etwa 15 km entfernten Mendip Hills in einer Formati-
on mit einer Wärmeleitfähigkeit etwa 2Wm
1
K
1
.
Welcher Wert der 2-D Péclet-Zahl charakterisiert die-
ses System. Welcher Anteil der Wärmeenergie wird
durch Wärmeleitung transportiert?
(b) Der regionale Aquifer in der Snake River Plain im
Nordwesten der USA mit einer Mächtigkeit von
200m und einer Wärmeleitfähigkeit von 2Wm
1
K
1
erstreckt sich horizontal über 300 km bei ei-
ner Breite von 95 km. Die Gesamtfließrate von
185m
3
s
1
tritt an der südwestlichen Ecke des Aqui-
fers über eine Breite von ca. 46 km aus. Welcher
Wert der 2-D Péclet-Zahl charakterisiert dieses Sys-
tem? Welcher Anteil der Wärmeenergie wird durch
Wärmeleitung transportiert?
Frage 6.2
Isentroper vertikaler Temperaturgradient:
Leiten Sie mit Hilfe der Maxwell-Beziehung (
/
S
D
.@
V
=@
S
/
P
den Ausdruck für den isentropen vertikalen
Temperaturgradienten
@
T
=@
P
.@
T
=@
z
/
S
her.
Frage 6.3
Wärmeleitfähigkeit zusammengesetzter Medien:
Ein Sandstein besitzt eine Porosität von
¥ D 20
%
und im trockenen Zustand eine Wärmeleitfähigkeit von
œ D 4
Wm
1
K
1
. Berechnen Sie seine wassergesättig-
te Wärmeleitfähigkeit (
Wm
1
K
1
) nach
den harmonischen, geometrischen und Quadratwurzel-
Mittelungsformeln (runden Sie auf zwei signifikante De-
zimalen).
œ
Wasser
D
0;6
