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Abb. 6.39
Prinzip der 1-D Péclet-Zahl-Analyse
6.5.5.1 Bestimmung vertikaler Fließraten
mit Péclet-Zahl-Analysen
von Temperaturproilen
Die eindimensionale (1-D) Péclet-Zahl-Analyse setzt ein sta-
tionäres, konstantes und vertikales Strömungsfeld
v
D
v
voraus. Eine Schichtung in Hinsicht der Wärmeleitfähigkeit
œ
ist jedoch möglich, und die Wärmeproduktionsrate A ist
entweder vernachlässigbar oder ihr Beitrag zur Temperatur
d
2
T
dz
2
.¡
c
/
f
v
œ
dT
dz
D 0:
(6.187)
Abb. 6.40
Dimensionsloses Nomogramm zur 1-D Péclet-Zahl-
Analyse. Aufgetragen ist die normierte Temperatur
‚
als Funktion der
normierten Tiefe
—
für unterschiedliche Werte der Péclet-Zahl
T
T
0
T
1
T
0
z
z
0
L
‚ D
und
— D
;
(6.188)
C
1
D
C
2
D 1=.
e
Pe
1/
, und man erhält:
e
Pe
—
1
e
Pe
‚.—/ D
;
bzw.
1
d
2
‚
d
—
2
Pe
d
d
—
e
.
zz
0
/
Pe
=
L
T
.
z
/
T
.
z
0
/
T
.
z
0
C
L
/
T
.
z
0
/
1
D 0;
(6.189)
D
:
(6.191)
e
Pe
1
Abbildung
6.40
zeigt ein dimensionsloses Temperatur-
Tiefenprofil in den Variablen
‚ D
f
.—/
, mit dessen Hilfe
die Péclet-Zahl bestimmt werden kann. Dies kann durch An-
oder grafisch, mit Nomogrammen wie dem in Abb.
6.40
ge-
zeigten. Ist zusätzlich die Mächtigkeit L des durchströmten
Bereichs bekannt, so lässt sich die Darcy-Geschwindigkeit
pazität (
¡
c
p
/
f
des Fluids und die Gesamt-Wärmeleitfähigkeit
œ
bekannt sind. Da gekrümmte Temperaturprofile wie je-
ne der Typkurven auch von systematischen Variationen der
Wärmeleitfähigkeit
œ
verursacht werden können, ist es vor-
œ
dT
=
dz ist eine Funktion der Variationen sowohl der Wär-
meleitfähigkeit als auch des Temperaturgradienten, und man
erhält: dq
=
dz
.
Pe
=
L
/
q
wobei
.¡
c
/
f
vL
œ
.¡
c
/
f
v
.
T
1
T
0
/
œ
q
adv
q
dif
Pe
D
D
D
(6.190)
T
1
T
0
L
Transportmechanismus dominiert, Wärmediffusion (Pe
)
ne gewöhnliche, homogene lineare Differenzialgleichung 2.
Ordnung mit den konstanten Koeffizienten 1 und Pe. Ihre
Lösung hat die Form
<1
‚.—/ D
C
1
e
r
1
—
C
C
2
e
r
2
—
C :::
, wobei
die r
i
die reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung
r
2
Pe r
D 0 D
r
sind. Hieraus folgt: r
1
D
Pe und
r
2
D 0
und damit
‚.—/ D
C
1
e
Pe
—
C
C
2
. Die Konstanten C
1
und C
2
ergeben sich aus den Randbedingungen
.
r
Pe
/
‚.0/ D 0
(bzw. T
.
z
0
/ D
T
0
) und
‚.1/ D 1
(bzw. T
.
z
0
C
L
/ D
T
1
)zu
D
0
. Mit der Definition von