Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 316

Abb. 6.39 Prinzip der 1-D Péclet-Zahl-Analyse

6.5.5.1 Bestimmung vertikaler Fließraten
mit Péclet-Zahl-Analysen
von Temperaturproilen
Die eindimensionale (1-D) Péclet-Zahl-Analyse setzt ein sta-
tionäres, konstantes und vertikales Strömungsfeld v D v
voraus. Eine Schichtung in Hinsicht der Wärmeleitfähigkeit
œ ist jedoch möglich, und die Wärmeproduktionsrate A ist
entweder vernachlässigbar oder ihr Beitrag zur Temperatur
wird vorab abgezogen. Damit vereinfacht sich ( 6.186 ) zu:

d 2 T
dz 2

.¡ c / f v
œ

dT
dz D 0:

(6.187)

Abb. 6.40 Dimensionsloses Nomogramm zur 1-D Péclet-Zahl-
Analyse. Aufgetragen ist die normierte Temperatur ‚ als Funktion der
normierten Tiefe — für unterschiedliche Werte der Péclet-Zahl

Führt man mit L D z 1 z 0 (Abb. 6.39 ) die dimensionslosen
Va r i a b l e n ‚ und — ein,

T T 0
T 1 T 0

z z 0
L

‚ D und — D ; (6.188)

C 1 D C 2 D 1=. e Pe

1/ , und man erhält:

e Pe — 1
e Pe

so lautet ( 6.187 ) :

‚.—/ D ; bzw.

1

d 2 ‚
d — 2

Pe d d —

e . zz 0 / Pe = L

T . z / T . z 0 /
T . z 0 C L / T . z 0 /

1

D 0; (6.189)

D : (6.191)

e Pe 1

Abbildung 6.40 zeigt ein dimensionsloses Temperatur-
Tiefenprofil in den Variablen ‚ D f .—/ , mit dessen Hilfe
die Péclet-Zahl bestimmt werden kann. Dies kann durch An-
passung gemessener Temperaturprofile mit ( 6.191 ) erfolgen
oder grafisch, mit Nomogrammen wie dem in Abb. 6.40 ge-
zeigten. Ist zusätzlich die Mächtigkeit L des durchströmten
Bereichs bekannt, so lässt sich die Darcy-Geschwindigkeit
aus ( 6.190 ) berechnen, wenn ebenfalls die thermische Ka-
pazität ( ¡ c p / f des Fluids und die Gesamt-Wärmeleitfähigkeit
œ bekannt sind. Da gekrümmte Temperaturprofile wie je-
ne der Typkurven auch von systematischen Variationen der
Wärmeleitfähigkeit œ verursacht werden können, ist es vor-
teilhaft, ( 6.187 ) zu integrieren. Die Wärmestromdichte q D
œ dT = dz ist eine Funktion der Variationen sowohl der Wär-
meleitfähigkeit als auch des Temperaturgradienten, und man
erhält: dq = dz . Pe = L / q

wobei

.¡ c / f vL
œ

.¡ c / f v . T 1 T 0 /
œ

q adv
q dif

Pe D D D (6.190)

T 1 T 0

L

die vertikale Péclet-Zahl ( 6.47 ) ist, welche angibt welcher
Transportmechanismus dominiert, Wärmediffusion (Pe )

oder Wärmeadvektion (Pe >1 ). Gleichung 6.189 ist ei-
ne gewöhnliche, homogene lineare Differenzialgleichung 2.
Ordnung mit den konstanten Koeffizienten 1 und Pe. Ihre
Lösung hat die Form

<1

‚.—/ D C 1 e r 1 — C C 2 e r 2 — C :::

, wobei
die r i die reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung
r 2 Pe r D 0 D r

sind. Hieraus folgt: r 1 D Pe und
r 2 D 0 und damit ‚.—/ D C 1 e Pe — C C 2 . Die Konstanten C 1
und C 2 ergeben sich aus den Randbedingungen

. r Pe /

‚.0/ D 0
(bzw. T . z 0 / D T 0 ) und ‚.1/ D 1 (bzw. T . z 0 C L / D T 1 )zu

D 0 . Mit der Definition von