Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 304

teilt: eine diagonale P P-Matrix ƒ P mit P L von null
verschiedenen Singularwerten, und weitere Nullmatrizen:

ƒ P

0

ƒ D : (6.159)

0 0

Damit ergibt die Singularwertzerlegung B D U ƒ V T D

U P ƒ P V P , wobei U P und V P jeweils die ersten P Spalten
von U bzw. V enthalten und die anderen Elemente der Ei-
genvektormatrizen durch Multiplikation mit den Nullen in
ƒ entfallen. Die verallgemeinerte Inverse lautet somit:

X D V P ƒ P 1 U P T

‚ ; (6.160)

wobei die L von null verschiedenen Elemente 1=ƒ ii -die

Kehrwerte der Singularwerte - die Diagonale der M N-
Matrix

Abb. 6.29 Größe der 102 Singularwerte aus der Inversion des am 17.
September 1997 in der KTB Vorbohrung aufgezeichneten Temperatur-
profils

ƒ 1 bilden. Instabilität in der Inversion wird durch
sehr kleine Singularwerte verursacht, deren sehr große Kehr-
werte zu starken Oszillationen der Lösung führen. Diese sehr
kleinen Singularwerte verstärken daher das Rauschen oder
auch Fehler in den Daten. Die SVD-Methode bietet nun zwei
praktische Möglichkeiten, das Gleichungssystem zu regula-
risieren, d. h. diese unerwünschten Effekte zu unterdrücken:
Entweder behält man nur jene P L Singularwerte, die grö-
ßer sind als ein vorgegebener Schwellenwert, oder man er-
setzt ƒ P in ( 6.160 ) durch ƒ P ( ƒ P C© 2 I ) 1 , wobei ©>0 ein
frei wählbarer Dämpfungsfaktor ist und I die Einheitsmatrix:
X D V P ƒ P ƒ P C © 2 I 1 U P ‚ :

parametern m hervorgerufen worden wären:
m est D Rm :

(6.163)

Mit der Modell-Auflösungsmatrix kann man somit ermitteln,
ob ein Datensatz geeignet ist, die gesuchten Modellparame-
ter zu bestimmen. Ist das Gleichungssystem unterbestimmt
(P L M), ist die Lösung mehrdeutig: Jede Linearkom-
bination der Spaltenvektoren von V , die null oder kleiner als
der vorgegebene Schwellenwert ist, kann zur Lösung hinzu-
gefügt werden, da diese Vektoren auf den Ursprung des Pa-
rameterraums abgebildet werden. Ist das Gleichungssystem
dagegen überbestimmt, so entspricht die verallgemeinerte
Inverse einer Inversen im Sinn der kleinsten Fehlerquadra-
te ( least squares ).
Ein Beispiel für das geschilderte Vorgehen, welches die
Möglichkeiten aber auch Grenzen der thermischen Bohr-
lochklimatologie aufzeigt, ist die Rekonstruktion des Endes
der letzten Eiszeit aus den Temperaturdaten, welche etwa
8 1/2 Jahre nach Ende der Bohrarbeiten und ebenfalls lan-
ge nach Ende der hydraulischen Bohrlochtests in der 4 km
tiefen Vorbohrung des deutschen Kontinentalen Tiefbohr-
programms (KTB) gemessen worden waren. Die Bohrung
befand sich daher sehr nahe am thermischen Gleichgewicht
mit dem umgebenden Gebirge und eignet sich somit gut für
eine Rekonstruktion der Temperatur an der Erdoberfläche in
der geologischen Vergangenheit. Die Inversion erfolgt auf
der Grundlage von ( 6.161 ) mit einem Dämpfungsfaktor von
- D 0;2 für den zwischen 1 000 000 und 100 Jahren vor
dem Kalenderjahr 2000 liegenden Zeitraum, unterteilt in 100
logarithmisch äquidistante Zeitschritte. Für den Untergrund
wurde eine Wärmeleitfähigkeit von 2,92Wm 1 K 1 ange-
nommen, eine thermische Diffusivität von

(6.161)

Jede der beiden beschriebenen Maßnahmen beeinflusst die
großen Singularwerte nur wenig, bewirkt aber, dass die
kleinen Singularwerte die Lösung nicht beeinträchtigen.
Entsprechend vermindert sich jedoch die Auflösung. Ein
optimaler Schwellenwert bzw. Dämpfungsfaktor ergibt sich
daher meist iterativ aus einer subjektiven Abwägung zwi-
schen Stabilität und Auflösung.
Das Auflösungsvermögen eines Datensatzes in Hinsicht
auf die gesuchtenModellparameter - in unseremFall dieAm-
plituden der absoluten Temperatursprünge an vorgegebenen
Zeiten - ist durch die Modell-Auflösungsmatrix definiert:
R D V P ƒ P ƒ P C © 2 I 1 ƒ P V P

; (6.162)

wobei V P die Matrix der P L Vektoren im Parameter-
raum ist, deren Singularwerte größer als der vorgegebene
Schwellenwert ist (in diesem Fall ist also © D 0 ). Die ver-
bleibenden M P Spalten der Matrix R sind mit Nullen
gefüllt. Dagegen ist P D L, wenn statt des Schwellenwerts
ein Dämpfungsfaktor

©>0

benutzt wird, um unerwünscht
kleine Singularwerte zu unterdrücken. Die Auflösungsmatrix
ermöglicht es, die zu einem Vektor m bekannter Model-
parameter gehörenden Schätzwerte m est zu bestimmen. Sie
entsprechen jener Modellantwort, welche man aus einer
Inversion von Daten erhalten hätte, die von den Modell-

10 6 m 2 s 1 und
eine radiogene Wärmeproduktionsrate von 1;1 Wm 3 .
Abbildung 6.29 zeigt das rasche Absinken der Singu-
larwerte: Nur sieben der insgesamt 102 Singularwerte sind