Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 292

Für den Fall einer freien Oberfläche folgt aus @‚=@.ƒ= stanter Viskosität. Es bilden sich viele relativ kleinräumige

Konvektionszellen aus. Die Teilbilder in Abb. 6.18 b -d zei-
gen die veränderten Konvektionsmuster, welche sich durch
die Erhöhung der Viskosität im unteren Mantel auf den drei-
ßigfachen Wert im oberen Mantel ergeben: Die Strömung
bildet sich im Wesentlichen in flächigen Zonen aus, wel-
che den gesamten Mantel durchziehen. Abbildung 6.18 e
ist wie das Modell Abb. 6.18 a , jedoch mit kompressiblem
Mantel. Wiederum bilden sich relative kleinräumige Kon-
vektionszellen mit zahlreichen Abströmen aus. Fließt diesem
Modell 38% der thermischen Antriebsenergie über die Kern-
Mantel-Grenze zu, so bildet sich dort eine thermische Grenz-
schicht aus, von der heiße Aufströme ausgehen (Abb. 6.18 f ).
Erfolgt zudem in 670 km Tiefe, an der Grenze zwischen
oberem und unteren Mantel, ein endothermer Phasenüber-
gang, z. B. von Ringwoodit zu Perowskit ([Mg,Fe]SiO 3 )
und Magnesiowüstit ([Mg,Fe]O) (siehe Abschn. 6.3.1.2 ) , so
werden dort zwar sowohl die Auf- als auch die Abströme
behindert, aber weder die räumlichen Konvektionsmuster
noch die Zeitskalen der Konvektionsströme wesentlich ver-
ändert (Abb. 6.18 g ). Abbildung 6.18 h illustriert ähnlich wie
Abb. 6.18 b den Effekt der Verdreißigfachung der Viskosi-
tät eines relativ zum oberen Mantel kompressiblen unte-
ren Mantels, diesmal jedoch im Vergleich zum Modell in
Abb. 6.18 e mit konstanter Viskosität. Im Vergleich zum Mo-
dell in Abb. 6.18 h bezieht jenes in Abb. 6.18 i wiederum38%
seiner thermischen Antriebsenergie über die Kern-Mantel-
Grenze. Dieses Beispiel verdeutlicht, welche Möglichkeiten
eine realistische Simulation dreidimensionaler Strömungs-
systeme bietet, um die vielfältigen Einflüsse verschiedener
Werte von physikalischen Eigenschaften und unterschied-
licher physikalischer Prozesse zu verstehen. Wichtige Ein-
flussgrößen sind ohne Zweifel gegeben durch die Variation
der Viskosität, Phasenübergänge und unterschiedliche Arten
der Wärmezufuhr. Darüber hinaus bedeutend ist die Wir-
kung der Kontinentalplatten, welche die äußere Grenzschicht
bilden.
Wird über den endothermen Phasenübergang in 670 km
Tiefe auch der exotherme in 400 km Tiefe von ' -Olivin zu
“ -Spinell (Wadsleyit) berücksichtigt, so bildet sich eine ge-
schichtete Konvektion im oberen und unteren Mantel aus,
welche die Abströme im oberen Mantel in 670 km Tiefe
aufhält. Diese Schichten kalten Mantelmaterials sind mit ei-
nigen tausend Kilometern zwar ähnlich, wenn auch nicht
identisch weit voneinander getrennt wie die Subduktions-
zonen. Wenn sich genügend kaltes Material an der Grenze
zum unteren Mantel angesammelt hat, wird es instabil und
bildet kalte, bis zur Kern-Mantel-Grenze vordringende zylin-
drische Diapire. Dies mag sich zur selben Zeit an mehreren
Stellen gleichzeitig ereignen.

2`/ D 0 analog wie vorher:

ƒ=2` D 1 bzw. ƒ D 2` : (6.127)

Damiterhältmanfürdiedimensionslose Temperatur aus
( 6.125 ) :

‚ D 2;98 Ra 1=4 (6.128)

und für die Horizontalgeschwindigkeit aus ( 6.126 ) :

D 0;354 ›
`

v x Ra 1=2 : (6.129)

Wenn das Fluid an den Rändern nicht frei ist ( free surface ),
sondern anhaftet ( no slip ), ergeben Laborexperimente:

‚ D 5;95 Ra 0;23 : (6.130)

Einsetzen typischer Werte für den gesamten Mantel ( ` D

¡ 0 D 4700 kgm 3 , ' D 3 10 5 K 1 ,A 0

2880 km, D

9 Wm 1 K 1 ,

› D 10 6 m 2 s 1 ,g 10 ms 2 ) ergibt: Ra D 3 10 9 und
q D

10 12 Wkg 1 , D 10 21 Pa s, œ D 4

q u ; k
œ

¡ A 0
2œ

z 2 folgt
schließlich für einen isolierten unteren Rand (q u ; k D 0 ):

mWm 2 .AusT u ; kon 209 T o D z C

¡ A 0 ` 2
2œ

T u ; kon T o D : (6.131)

Damit erhält man aus ( 6.124 ) und ( 6.128 ) : T K T 0 D 558 K.
Dies ist etwa um einen Faktor vier zu klein. Die mittlere ho-
rizontale Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus ( 6.129 )
zu v x D 212 mm a 1 , was etwa um einen Faktor vier zu
groß ist. Die Schätzungen für die beiden unterschiedlichen
Arten der Beheizung ergeben somit zwar Werte in den kor-
rekten Größenordnungen, erweisen sich aber als zu ungenau
für quantitative Aussagen. Dies verdeutlicht, dass genauere
Aussagen nur durch detaillierte Modellrechnungen gewon-
nen werden können.
Die Ergebnisse solcher dreidimensionalen Simulations-
rechnungen thermisch angetriebener freier Konvektion eines
zähen Fluids in einer Kugelschale zeigt die Abb. 6.18 (Bunge
et al. 1996 ; 1997 ; vgl. auch Fowler 2005 ) . Diese Modell-
rechnungen untersuchen für einen realistischen Bereich von
Rayleigh-Zahlen von 4 10 7 Ra 10 8 systematisch

den Einfluss unterschiedlicher Arten der Beheizung (interne
Wärmeproduktion gegenüber heißem unteren Rand), einer
tiefenabhängigen Viskosität und eines endothermen Pha-
senübergangs an der Grenze zwischen oberem und unteren
Erdmantel. Abbildung 6.18 a zeigt das einfachste Modell,
mit interner Beheizung, inkompressibler Strömung und kon-