Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 280

Abb. 6.11 Variation der
Strahlungs-Wärmeleitfähigkeit
œ r eisenhaltiger Minerale und
dichter Silikate und Oxide mit
der Temperatur (nach © Clauser
2011c , Hofmeister 1999 )

2.0

Fe- M inerale
Silikate, Oxide

1.5

1.0

0.5

0.0

0 500 1000 1500 2000 2500

T (°C)

wo ¢ D 5;670 373.21/ 10 8 Wm 2 K 4 die Stefan-
Boltzmann-Konstante ist (Tab. 7.6 ) . Man erhält aus ( 6.93 )
einen Eindruck der Größenordnung, wenn man (i) einen
Emissionsgrad von ˜ D 0;99 annimmt, (ii) die Opazität bei
Vernachlässigung der Streuung mit dem Absorptionskoeffi-
zienten 1000 m 1 ' 1500 m 1 für Olivin . Fo 92 Fa 8 /
bei 1700K identifiziert ( 6.87 ) und (iii) für den Brechungs-
index einen typischen Silikatwert von n D 1;6 (Tab. 6.16 )
annimmt. Dies ergibt für die Strahlungs-Wärmeleitfähigkeit
bei 1700K einen Bereich von 3;8 Wm 1 K 1

Brechungsindex n, wie von Hofmeister ( 2005 ) nahegelegt,
nicht oder nur wenig mit der Temperatur variiert. Da der
Absorptionskoeffizient ' nichtlinear mit der Frequenz bzw.
Wellenlänge variiert und die Grenzfrequenzen der Integrati-
on in ( 6.94 ) von der Korngröße • und ' abhängen, muss das
Integral numerisch ausgewertet werden. Hofmeister ( 2005 )
bestimmte auf diese Weise Polynome in T mit Exponenten
zwischen 0 und 6, und erhielt somit eine andere als die ku-
bische Abhängigkeit der Strahlungs-Wärmeleitfähigkeit in
( 6.93 ) von der Temperatur. Für eisenhaltige Minerale so-
wie dichte Silikate und Oxide gibt es einen zu ( 6.93 ) , ( 6.90 )
und ( 6.94 ) alternativen Ausdruck (Hofmeister 1999 ) für die
Strahlungs-Wärmeleitfähigkeit œ r (Abb. 6.11 ) :

>œ r >

2;5 Wm 1 K 1 .
Setzt man alternativ zu ( 6.93 ) dieAusdrücke ( 6.91 ) ,
( 6.92 ) und die Temperaturableitung der spektralen Strah-
lungsdichte ( 6.86 ) von Shankland et al. ( 1979 ) in( 6.90 ) ein,
so erhält man für die Strahlungs-Wärmeleitfähigkeit:

œ r D 0;017 53 1;0365 10 4 T
C 2;2451 10 7 T 2 3;407
10 11 T 3 I

Fe-Minerale:

Z

1 e •'./
1 C •'./

4 •
3

@. L .; T //
@ T

œ r D d

œ r D 8;5 10 11 T 3
.œ r in Wm 1 K 1 I TinK /:

Silikate, Oxide: 0

Z

oben

(6.95)

X

8 • nT 3 k 4
3 c 0 h 3

1 e •'./
1 C •'./

D

6.3.3.3 Variation der efektiven
Gesteins-Wärmeleitfähigkeit
mit der Temperatur
Man weiß seit hundert Jahren, dass die Wärmeleitfähigkeit
von Mineralen und Gesteinen mit der Temperatur abnimmt,
im Allgemeinen mit ihrem Kehrwert (Eucken 1911 ) . Dieser
experimentelle Befund wurde bald durch theoretische Über-
legungen (Peierls 1929 ) auf der Grundlage der debyeschen
Theorie (Debye 1914 ) der Elektronenstreuung bestätigt. In

unten

ne x x 4 C
e x

dx . Wm 1 K 1 /;

2 Tx 3
e x

@ n
@ T

C (6.94)

1 1

wobei x D h =. kT / und dx D hd =. kT / sind, und die
Summierung die für Wärmestrahlung transparenten Berei-
che ober- und unterhalb der starken Absorptionsbänder im
sichtbaren Bereich des Spektrums berücksichtigt. Der zwei-
te Term der Summe im Integranden verschwindet, wenn der