Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 267

in Beziehung zur Kompressibilität “ D .1= V /.@ V =@ p / und
ihrem Kehrwert, der Inkompressibilität bzw. dem Kompres-
sionsmodul K D V .@ p =@ V / ( 3.10 ) . Die Subskripte T und
S bezeichnen jeweils isotherme und isentrope Bedingun-
gen, d. h. konstante Temperatur bzw. Entropie. Einsetzen
der thermodynamischen Beziehung “ T D “ S C ' 2 T =.¡ c p /
zwischen isothermer und isentroper Kompressibilität ergibt
einen zu ( 6.55 ) alternativen Ausdruck für den Adiabaten-
bzw. Isentropen-Exponenten:

ist. Eine adäquate theoretische Behandlung der spezifischen
Wärmekapazität erfordert unter diesen Bedingungen einen
quantenmechanischen Ansatz. Dies geht über den Rahmen
dieses Textes hinaus, wird jedoch in den Standardlehrbü-
chern der Experimentalphysik (z. B. Meschede 2006 ; Tipler
1991 ) behandelt. Eine experimentelle Bestimmung der Wär-
mekapazität von Gesteinen bei simulierten Krustentempe-
raturen ist im Labor jedoch ohne weiteres möglich: Die
isobare spezifische Wärmekapazität von Gestein kann ent-
weder direkt im Labor gemessen oder nach ( 6.59 ) als isobare
Ableitung der spezifischen Enthalpie h nach der Tempe-
ratur bestimmt werden. Für Gesteine variiert ihr Wert mit
Temperatur, Druck, Porosität und sättigenden Fluiden. Da-
her können unter Laborbedingungen gemessene Werte von
In-situ-Werten abweichen. Die Enthalpieänderung Hvon
Mehrkomponenten-Systemen wie Gesteinen berechnet sich
nach der neumann-koppschen Regel 68 als arithmetische Mit-
tel der mit ihren relativen Volumenanteilen n i gewichteten
individuellen Beiträge der N Mineral- und Fluidphasen:

c p = c V D K S = K T D1 C '” T : (6.61)

Hierbei bezeichnet ¡ die Dichte, ' D .1= V /.@ V =@ T / den
thermischen Volumenausdehnungskoeffizienten und

' K S
¡ c p D

' K T
¡ c V ;

” D (6.62)

den dimensionslosen Grüneisen-Parameter (Kasten 6.3 ) .
Einsetzen der Ausdrücke für ' und K in ( 6.62 ) ergibt:

@ V @

N N N

X X X

1
¡ c p

@ 1

¡ c p

V
V @ T

p
@ V

p
@ T

” D D

V :

(6.63)

H D n i H i I c D n i c i I 1 D n i : (6.66)

p
„ ƒ‚ …
'

S

„ ƒ‚ …
K S

iD 1 iD 1 iD 1

Zur Berechnung der Temperaturabhängigkeit stehen Potenz-
reihen unterschiedlichen Grades zur Verfügung, deren Koef-
fizienten für verschiedene Minerale und Gesteine kalibriert
wurden (vgl. z. B. Clauser 2011b ) . Auf der Grundlage hoch-
genauer Labormessungen an Endglieder-Mineralen berech-
neten Whittington et al. ( 2009 ) die Temperaturabhängigkeit
der isobaren molaren Wärmekapazität für eine aus 30%
Quarz, 60% Feldspat (Albit) und 10% Schichtsilikaten (5%
Phlogopit und 5% Annit) bestehende mittlere Kruste zu

Somit beschreibt der Grüneisen-Parameter ” die isocho-
re Druckänderung in einem beheizten Material. Er bringt
zumAusdruck, dass thermische Ausdehnung und thermische
Kapazität bei allen Temperaturen zueinander im gleichen
Verhältnis stehen.
Die absolute Differenz zwischen isobarer und isochorer
spezifischer Wärmekapazität folgt aus ( 6.55 ) , ( 6.60 ) oder
( 6.61 ) . Für f D 6

folgt aus ( 6.55 ) und ( 6.61 ) :

' 2 TK T
¡

' 2 TK s
¡

3
4

c mol ; p . T /

c p c V D D (6.64)

<

199;50 C 0;085 7 T
5;0 10 6 T 2 I T 846 K
229;32 C 0;032 3 T
47;9 10 6 T 2 I T > 846 K

Für Krustengesteine ( ” D 0;5 ; ' D 2 10 5 K 1 ;T <
10 3 K; ¡ D 2600 kgm 3 ;K S <75 GPa), ergibt sich aus
( 6.61 ) und ( 6.64 ) eine Differenz zwischen isobarer und iso-
chorer spezifischer Wärmekapazität von weniger als 1%
oder 9 J kg 1 K 1 . Somit muss für Krustengesteine bei Tem-
peraturen unter 1000K nicht zwischen isobarer und isocho-
rer spezifischer Wärmekapazität unterschieden werden, wohl
aber bei höheren Temperaturen.
Wie weiter oben bereits betont, genügt diese klassische
Behandlung der spezifischen Wärmekapazität im Fall von
Temperaturen oberhalb der Debye-Temperatur. In der Er-
de liegen mit Ausnahme der Erdkruste die Temperaturen
immer oberhalb der Debye-Temperatur T D . Daher zeigen
Experimente bei Zimmertemperatur und Atmosphärendruck
Abweichungen von den in ( 6.48 - 6.64 ) formulierten Dulong-
Petit-Werten. Diese sind umso größer, je geringer die Tem-
peratur, leichter das Element und stärker die Gitterbindung

. Jmol 1 K 1 /: D

:

(6.67)

68 Franz Ernst Neumann (1798-1895) war ein deutscher Physiker und
Mineraloge und ab 1829 Professor in Königsberg. Begründete in An-
lehnung an Fourier die mathematische Physik in Deutschland und hielt
die ersten Vorlesungen über Theoretische Physik. Er arbeitete über
Wellenlehre des Lichtes (Reflexion, Brechung und Doppelbrechung),
Elektrodynamik (Induktionsgesetz), Kristallografie und Wärmeleitung.
Er richtete eines der ersten physikalischen Labore in Deutschland ein.
Hermann Franz Moritz Kopp (1817-1892) war ein deutscher Chemi-
ker und Professor in Gießen (1843-1863) und danach in Heidelberg. Er
erforschte den Zusammenhang zwischen physikalischen Eigenschaften
(besonders Siedepunkt, Dampfdichte, spezifische Wärmekapazität) und
der Beschaffenheit organischer Verbindungen (z. B. zwischen Ketten-
länge und Siedepunkt von organischen Molekülen).