Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 266

Tab. 6.10 Debye-Temperaturen T D und Massenzahlen A einiger Ele-
mente (Kittel 2005 )
Element

für die isochore spezifische Wärmekapazität c V :

c V D 24 940= A r . Jkg 1 K 1 /: (6.56)

Massenzahl A T D (K)

Beryllium 4 1440

Die isochore spezifische Wärmekapazität kann jedoch au-
ßer für Gase nicht gemessen werden, da Festkörper nicht
ohne thermische Ausdehnung erwärmt werden können. Aus
dem Ausdruck ( 6.61 ) für den Adiabaten- bzw. Isentropen-
Exponenten kann man die isobare spezifische Wärmeka-
pazität aus der isochoren berechnen, wenn der thermische
Ausdehnungskoeffizient

Kohlenstoff 6 2230

Aluminium 13 428

Silizium 14 645

Titan 22 420

Chrom 24 630

Mangan 25 410

' und der Grüneisen-Parameter ”

Eisen 26 470

bekannt sind:

Nickel 28 450

Kupfer 29 343

c p D c V .1 C ”' T /: (6.57)

Zink 30 327

Silber 47 215

Alternativ kann die isobare spezifische Wärmekapazität c p
mit Hilfe der Zustandsgröße Enthalpie H(S,p) ( 6.7 ) ausge-
drückt werden: H D U C pV, wobei U die innere Energie
bezeichnet, p den Druck, V das Volumen und keine chemi-
schen Reaktionen stattfinden sollen. In einem geschlossenen
System gleicht die Änderung der inneren Energie (dU) der
Summe der Änderungen von zugeführter Wärme dQ und
verrichteter Arbeit dW ( 6.2 ) : dU D dQ C dW. Betrachtet
man nur die zur Volumenausdehnung vom System geleistete
(bzw. zur Volumenverringerung am System verrichtete) Ar-
beit dW D pdV (und vernachlässigt jene für chemische
Reaktionen), so ist die Änderung der Enthalpie dH gleich:

Cadmium 48 209

Zinn 50 200

Tan t a l 73 240

Wolfram 74 400

Platin 78 240

Gold 79 165

Blei 82 105

erklärt auch das Fehlen des sechsten Freiheitsgrads für Sau-
erstoff (O 2 ), welcher einer Rotation um die Molekülachse
entspricht und erst bei sehr viel höherer Temperatur auftaut.
Nahe des absoluten Nullpunkts strebt die Wärmekapazität
daher ebenfalls gegen null. Die spezifische Wärmekapazität
c eines Stoffes ist definiert als die auf seine Einheitsmasse
bezogene Wärmekapazität C:

dH . T ; p / D dU

pdV C pdV C Vdp D dQ C Vdp

„ƒ‚…
dQ

@ H
@ T

@ H
@ p

D dT

„ ƒ‚ …
dQ

C dp : (6.58)

p T

„ ƒ‚ …
V

Q
m T D

f
2

k
m D

f
2

k
A r u . Jkg 1 K 1 /;

c D (6.54)

Ein Koeffizientenvergleich der Terme links und rechts des
Gleichheitszeichens auf der rechten Seite der Gleichung er-
gibt:

wobei u D 1;660 538 921.73/ 10 27 kg die Atommassen-
konstante ist (Tab. 7.6 ) , definiert als 1 = 12 der Masse eines
Atoms des Kohlenstoffisotops 12 C, und A r die darauf bezo-
gene mittlere relative Atommasse des betreffenden Stoffes
(siehe Tab. 7.3 im Abschn. 7.1 ) .
Wiederum unterscheiden sich isobare spezifische Wär-
mekapazität c p (bei konstantem Druck) und isochore
spezifische Wärmekapazität c V (bei konstantem Volumen)
durch die zusätzliche Arbeit für die Volumenausdehnung. Ihr
Verhältnis ist der sogenannte Adiabaten- bzw. Isentropen-
Exponent:

@

dQ
dT D

H
@ T

: D c p :

p

Somit definiert diese Gleichung die isobare spezifische Wär-
mekapazität c p als isobare Ableitung der Enthalpie nach der
Temperatur. Ein Vergleich der Gleichungen ( 6.54 ) und ( 6.59 )
zeigt, dass beide Ausdrücke für dQ D Q = m äquivalent
sind und die isobare Enthalpieänderung dH dem spezifischen
Wärmeinhalt Q = m D dh gleicht (h: spezifische Enthalpie).

@ h
@ T

p :

c p D (6.59)

c p = c V D . f C 2/= f : (6.55)

Für die meisten in der Erde vorkommenden Verbindungen ist
es sinnvoller, die Wärmekapazität statt auf die Substanzmen-
ge auf die mittlere relative Atommasse A r (siehe Tab. 7.3 im
Abschn. 7.1 im Anhang) zu beziehen. Dann folgt aus ( 6.51 )

Isobare und isochore spezifische Wärmekapazität stehen
durch

c p = c D “ T =“ S D K S = K T (6.60)