Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 265

sätzlich durch Strahlung aus - trotz der hohen Opazität des
Mantel- und Kernmaterials. Bei sehr hohen Temperaturen
dominiert dieser Prozess schließlich. Im Rahmen bestimm-
ter Näherungen kann jedoch die durch Strahlung verursachte
Wärmestromdichte als Produkt eines Transportkoeffizienten
und des Temperaturgradienten ausgedrückt werden. Diese
Formulierung ist völlig homolog zur Angabe der auf Wär-
meleitung beruhenden Wärmestromdichte als Produkt von
Wärmeleitfähigkeit und Temperaturgradient. Daher können
die beiden Koeffizienten zu einer „effektiven“ Wärmeleitfä-
higkeit zusammengefasst werden (siehe Abschn. 6.3.3 ) . In
den meisten Fällen erübrigt sich daher eine separate Behand-
lung des Wärmetransports durch Wärmestrahlung.
Im Folgenden werden die für Wärmespeicherung, Wär-
meleitung und Wärmeproduktion relevanten Gesteinseigen-
schaften Wärmekapazität, latente Wärme, Wärmeleitfähig-
keit bzw. thermische Diffusivität und radiogene Wärmepro-
duktionsrate diskutiert. Die dabei erläuterten Konzepte, et-
wa der Mischungsgesetze für Mehrphasen-(Mehrkomponen-
ten-)Systeme, sowie die Überlegungen zur Abhängigkeit
von Temperatur und Druck, werden hierbei exemplarisch
vorgestellt und gelten entsprechend für andere (elektrische,
magnetische, elastische etc.) skalare bzw. vektorielle physi-
kalische Gesteinseigenschaften.

wobei die Avogadro-Konstante N A D 6;022 141 79.27/
10 23 mol 1 die Anzahl von Molekülen oder Atomen in ei-
ner Stoffmenge von einem Mol angibt und R D N A k D
8;314 4621.75/ Jmol 1 K 1 die molare Gaskonstante ist
(Tab. 7.6 ) .
Normierung auf die Masse m bzw. die Substanzmenge N
ergibt die spezifische bzw. die molare Wärmekapazität:

Q
m T

in J kg 1 K 1 bzw.

c D

Q
N T

in J mol 1 K 1

c mol D (6.50)

Für einzelne Gasmoleküle ist f D 3 , entsprechend den
drei Freiheitsgraden der Translation in den drei Raumrich-
tungen. Für Festkörper ist f D 6 , was den jeweils drei
Freiheitsgraden für potenzielle und kinetische Energie für
Gitterschwingungen in den drei Raumrichtungen entspricht.
Für Gesteine und Metalle gilt somit C D 3

kN A .Fürein
Mol einer Substanz ergibt sich hieraus die konstante, von der
Temperatur unabhängige Molwärme c mol :

c mol ; V D 3 N A k D 3 R D 24;94 . Jmol 1 K 1 /: (6.51)

Die isobare molare Wärmekapazität c mol ; p (bei konstantem
Druck) ist größer als die isochore molare Wärmekapazität
c mol ; V (bei konstantem Volumen), weil zusätzliche Arbeit für
die Volumenausdehnung aufgebracht werden muss. Ihre Be-
ziehung wird durch

6.3.1 Wärmespeicherung

Wärme wird in den Gesteinen und Flüssigkeiten der Er-
de entweder als fühlbare Wärme ( sensible heat )gespei-
chert oder als latente Wärme, die bei Phasenübergängen als
Schmelz- Verdampfungs-, Sublimations-, Kristallisations-
oder Reaktionswärme gespeichert bzw. abgegeben wird, je
nach Verlaufsrichtung des jeweiligen Prozesses. Die in Ga-
sen als fühlbare Wärme gespeicherte Energie ist dagegen
gering und wird im Folgenden vernachlässigt.

f C 2
2

R . Jmol 1 K 1 / c mol ; p D c mol ; V C R D (6.52)

angegeben. Mit c mol ; V aus ( 6.51 ) und mit f D 6 wie oben

erhält man:

c mol ; p D 3 R C R D 4 R . Jmol 1 K 1 /; bzw.
c mol ; p c mol ; V D R : (6.53)

6.3.1.1 Wärmekapazität
Die Wärmekapazität C ist definiert als das Verhältnis
zwischen der fühlbaren Wärme Q und dem durch sie
in einer Masse m bewirkten Temperaturanstieg T. Für
jedes Molekül der Masse m mol erfordert dieser Tempe-
raturanstieg eine Energie von . f =2/ k T, wobei f die
Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls bezeichnet und
k D 1;380 6488.13/ 10 23 JK 1 die Boltzmann-Kon-
stante (Tab. 7.6 ) . Ein Temperaturanstieg um TKineinen
Körper der Masse m erfordert somit eine thermische Energie
E von:

Gleichung ( 6.51 ) , die Regel von Dulong-Petit, ist für
schwere Elemente gut erfüllt. Leichtere bleiben im Allge-
meinen umso mehr unter diesemWert, je tiefer die Tempera-
tur ist. Die Grenztemperatur, unterhalb der die Wärmekapa-
zität mit der Temperatur variiert, wird als Debye-Temperatur
T D bezeichnet. Sie liegt für die meisten Stoffe zwischen 85K
und 450 K, für die meisten Minerale zwischen 200K und
1000K (Tab. 6.10 ) . Daher kann man, mit Ausnahme einer
dünnen Schicht nahe der Erdoberfläche, die Wärmekapazi-
tät innerhalb der Erde gut mit der klassischen Theorie nach
Debye erklären. Für einige Stoffe ist sie jedoch deutlich
höher, z. B. für Beryllium (T D

m
m mol

f
2

E D Q D k T : (6.48)

K) und für Dia-
mant (T D 1800 K). Dies liegt am sogenannten Einfrieren
der Schwingungs- und Rotationsfreiheitsgrade, die bei tiefen
Temperaturen keine Energie mehr aufnehmen können. Dies

D 1440

Somit ist die Wärmekapazität des Körpers:

Q
T D

f
2

k m

f
2

f
2

JK 1 /;

C D

m mol D

kN A D R . (6.49)