Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 253

1886-1923) beantwortet werden, nachdem Josiah Willard
Gibbs 60 die thermodynamischen Funktionen und die für sie
geltenden Gleichungen eingeführt hatte und die technischen
Voraussetzungen für eine experimentelle Hochdruckphysik
gegeben waren (Hemley 2006 ) . Ihre herausragenden, sorg-
fältigen gesteinsphysikalischen Hochdruckexperimente am
Geophysikalischen Labor der Carnegie Institution in Wa-
shington D. C. und deren Interpretation mit Hilfe elegan-
ter theoretischer Ableitungen (Adams & Williamson 1923 )
gelten heute als einer der wichtigsten Beiträge zur Geo-
physik aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Man
geht von einer kugelsymmetrischen, adiabatischen Erde aus,
deren infinitesimale Schalen konstante Eigenschaften besit-
zen. Zwischen den Radien r C dr und r steigt dann der
Druck p aufgrund des Gewichts der Masse M r der Erde
bis zum Radius r der überlagernden Schale um den Betrag:
dp D a g . r /¡. r / dr, wobei a g . r / der Betrag der nach innen
wirkenden Gravitationsbeschleunigung ( 4.14 ) amRadiusr
ist. Dies kann als Differentialgleichung geschrieben werden,
was auf eine Gleichung für den hydrostatischen Druckgradi-
enten führt:

Daher wird dieses sogenannte Eigenkompressions-Modell
( self-compression model ), bei dem der Druck ausschließlich
von der Auflast auf die jeweilige Kugelschale bestimmt ist,
in der Regel erst ab der Oberkante des Mantels angewendet,
da die Krustendicke und -zusammensetzung hierfür viel zu
variabel ist.
Die bei der Ableitung von ( 6.34 ) gemachte Annahme
eines adiabatischen Temperaturverlaufs wird sicherlich im
Mantel und äußeren Kern durch den mit den dortigen Kon-
vektionsströmen verbundenen advektiven Wärmetransport
verletzt (siehe Abschn. 6.4.1 und 6.4.2 ) . Dies kann durch
eine Ergänzung der Adams-Williamson-Gleichung berück-
sichtigt werden, die auf den Geophysiker Albert Francis
Birch (USA; 1903-1992) zurückgeht (Birch 1952 ) :

d dr D G M r ¡. r /

C '¡. r / T adiabatisch ; (6.35)

r 2 ¥

wobei ' und T adiabatisch der thermische Ausdehnungsko-
effizient und die Abweichung des tatsächlichen vom adia-
batischen Temperaturverlauf sind. Eine weitere teilweise
verletzte Annahme ist die der homogenen Phase mit Ausnah-
me der Phasengrenzen zwischen Kruste, Mantel und Kern,
die im Modell berücksichtigt sind. Dies sind insbesondere
die bereits oben erwähnten Übergänge zwischen verschiede-
nen Mineralphasen in der Litho- und Asthenosphäre, welche
mit Dichtevariationen von etwa 10% einhergehen und zu ei-
ner gewissen Unterschätzung der Masse des Mantels führen.
Die derzeit allgemein anerkannte Schätzung des isentro-
pen Temperaturprofils ist gekennzeichnet durch steile Gra-
dienten in der Lithosphäre, Asthenosphäre und in der D 00 -
Schicht im unteren Mantel (unmittelbar oberhalb der Kern-
Mantel-Grenze). Sieht man von möglichen starken latera-
len Variationen in der Kruste und Lithosphäre ab, ergeben
sich damit mittlere Temperaturen von weniger als 1200K
in der Lithosphäre, nahe bei 3740K an der Kern-Mantel-
Grenze, und etwa 5030K im Erdmittelpunkt (Abb. 1.11 b ).
Große Unsicherheiten bestehen hinsichtlich der Temperatur
jedoch vor allem im Mantel und Kern, was durch die Band-
breiten denkbarer Minimal- bzw. Maximaltemperaturen an
der Kern-Mantel-Grenze (3000 °C-4500 °C), an der Grenze
zwischen innerem und äußerem Kern (4400 °C-7300 °C) so-
wie einer Maximaltemperatur im Erdmittelpunkt von bis zu
8000 °C zum Ausdruck kommt (Abb. 1.11 b ).
Die thermodynamische Maxwell-Beziehung .@ S =@ p / T
D .@ V =@ T / p ( 6.12d ) ermöglicht die Ableitung der relativen
Änderung der Schmelzpunkttemperatur T Sp mit der Tiefe in
der Erde: Mit der Änderung der Entropie dS D mL

dp
dr D a g . r /

¡. r / D G M r ¡. r /
r 2

: (6.31)

„ƒ‚…
GM r = r 2

d dr für den hydrostatischen Druckgradienten in
( 6.31 ) erhält man:

dp
dr

dp
d ¡

Mit D

dr D G M r ¡. / dp :

d r d

(6.32)

r 2

Einen Ausdruck für d dp erhält man nun, indem man die

Ableitung der Dichte (Masse pro Volumen) nach dem Vo-
lumen bildet:

¡=

V 2 D V , nach dem
Volumen auflöst und dieses in den Ausdruck ( 3.10 ) für die
Inkompressibilität einsetzt:

d ¡
dV

d V =

m

D dV D

K D V dp

dp
d ¡

; bzw.: d dp D

K :

dV D ¡

(6.33)

Eingesetzt in ( 6.32 ) ergibt dies die Adams-Williamson-

Gleichung:

d dr D G M r ¡. r / ¡. r K D G M r ¡. r /

; (6.34)

r 2 r 2 ¥

wobei ¥ D K =¡ der aus den Kompressions- und Scher-
wellengeschwindigkeiten berechnete seismische Parameter
( 3.23 ) ist. Die Berechnung eines Dichteprofils beginnt an
der Erdoberfläche, wobei die Adams-Williamson-Gleichung
sukzessive nach unten auf Kugelschalen konstanter Zusam-
mensetzung angewendet wird und M r immer die Restmasse
der Erde innerhalb des jeweiligen Schalenradius bezeichnet.

=

T Sp ,
wo L die latente (Schmelz-)Wärme ist, die mit dem Schmel-
zen einhergehende Volumenänderung dV D V s V ` , und
die Subskripte s und ` den festen und flüssigen Zustand
beschreiben, erhält man:

.@ S =@ p / T D .. mL = T Sp /=@ p / T D

.@ V =@ T / p D.. V s V ` /=@ T / p . Hieraus erhält man die