Wärme und Temperaturfeld der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 252

Wir betrachten nun ein Einheitsvolumen, welches vertikal
bzw. radial, v D .0; 0; v r /

Temperatur eines (aufsteigenden oder absinkenden) beweg-
ten Massepunkts. Diese wird besser durch eine Adiabate
beschrieben, wenn der Massepunkt mit seiner Umgebung
keine Wärme austauscht. Isentrope und adiabatische Tempe-
ratur unterscheiden sich in der Erde um etwa 30% (Jaupart
& Mareschal 2011 ) .
Für Bedingungen in etwa 1500 km Tiefe im unteren Man-
tel (T D 2328 K, g D 9;93 ms 2 ,c p D 1199 Jkg 1 K 1 ,
' D 1;6 10 5 K 1 ) ergibt sich ein isentroper Tempe-
raturgradient von etwa 0,27Kkm 1 . Entsprechende Werte
für ca. 3500 km Tiefe im äußeren Kern (T D 4200 K,
g D 9;22 ms 2 ,c p D 807 Jkg 1 K 1 , ' D 1;4 10 5 K 1 )
ergeben einen isentropen Temperaturgradienten von etwa
0,67Kkm 1 .
Mit Hilfe des thermodynamischen Grüneisen-Parameters
” D ' K S =.¡ c p / (Abb. 1.12 ) , wobei K S D p . V = V / S
die isentrope Inkompressibilität bzw. der Kompressionsmo-
dul ( 3.10 ) ist und ¡ die Dichte, kann der ungefähre isen-
trope Temperaturverlauf mit der Tiefe im Innern der Er-
de geschätzt werden: Zunächst gilt: @¡ D @. m = V / D
.@ mV @ Vm /= V 2 D¡.@ V = V / . Hieraus folgt: @ V = V D
@¡=¡ . Damit ergibt sich aus K S

T aufsteigt oder absinkt. Thermisch
bedingte Dichtevariationen verändern den Auflastdruck nur
wenig, und die dynamischen Druckvariationen sind ebenfalls
klein gegenüber dem hydrostatischen Druck. Dann erhält
man aus ( 6.27 ) mitDT = Dt D @ T =@ t C v r @ T =@ r für adiaba-
tische Bedingungen ( Q D 0 ,alsodiv q D 0 ) den radialen
(bzw. vertikalen) adiabatischen Temperaturgradienten :
@ T
@ r

A C ˆ
¡ c p

' g
c p T
„ƒ‚…
.@ T =@ r / S

C v r

@ T
@ t

D :

(6.28)

QD 0

Der erste Summand gibt den statischen isentropen Tem-
peraturgradienten an ( 6.29 ) , der zweite berücksichtigt die
(vertikale) Strömung, die durch sie bewirkte zähe Energie-
dissipation, die interne Wärmeproduktion und die säkulare
diffusive Abkühlung der Erde.

6.1.3 Die thermische Struktur der Erde

D V .@ p =@ V / S für die

Die Variation von beobachteten seismischen Wellenge-
schwindigkeiten und elastischen Konstanten mit der Tiefe
ergeben in Verbindung mit Maxwells vier thermodynami-
schen Beziehungen ( 6.12 ) zwischen Druck p (Pa), Volumen
V(m 3 ), Entropie S (J K 1 ) und Temperatur T (K) einen
im Wesentlichen radialen Aufbau der Erde. In Abwesen-
heit von Strömung erhält man aus der Maxwell-Beziehung
( 6.12c ) : ( @ T =@ p / S D .@ V =@ S / p einen Ausdruck für den
isentropen Temperaturgradienten als Funktion von Tempera-
tur, kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten ' D
.@ V =@ T / p = V und isobarer spezifischer Wärmekapazität c p :
Mit dp D ¡ gdz und dS D Q = T D c p m @ T = T folgt:
@ V
@ S

Druckänderung: @ p D K S .@ V = V / S D K S @¡=¡ . Setzt

man in ( 6.29 ) wiederdz D dp =.¡ g / ein, so erhält man

@ T = T D @ p '=.¡ c p / D .@¡=¡/' K S =.¡ c p / ,also: @ T = T D

”@¡=¡ . Hieraus folgt:
Z @ T

T D ln T ln T 0 D ln T T 0

ln ¡
¡ 0

Z @¡
¡

D ” D ”. ln ¡ ln ¡ 0 / D ”

und damit:

¡. z /
¡ 0 . z 0 /

”

@ V
@ T

@ T
@ S

' V
@ T =. c p m @ T /= T D

T '
¡ c p :

T . z / D T 0 . z 0 / : (6.30)

p D p D p

Ausgehend von einer bekannten Temperatur T 0 . z 0 / und
Dichte ¡ 0 . z 0 / in einer Tiefe z 0 ,kannmit( 6.30 ) der isentrope
Verlauf der Temperatur mit der Tiefe aus einem Tiefen-
profil ¡. z / der Dichte abgeleitet werden, vorausgesetzt ent-
sprechende Werte des Grüneisen-Parameters sind bekannt.
Glücklicherweise variiert dieser nicht allzu sehr innerhalb
großer Tiefenbereiche im Erdinnern (Abb. 1.12 ) . Zwar kann
überall dort, wo ” unstetig zwischen diesen Bereichen va-
riiert, ( 6.30 ) nicht angewendet werden. Wo jedoch T 0 und
¡ 0 an Kalibrationspunkten bekannt sind, kann das isentrope
Temperaturprofil dennoch iterativ innerhalb bestimmter Tie-
fenintervalle berechnet werden.
Aus welchen Daten kann man aber die Variation der
Dichte mit der Tiefe ableiten? Die Frage konnte erst von
ca. 90 Jahren von Leason H. Adams (USA; 1887-1969) und
dem früh verstorbenen Erskine Douglas Williamson (UK;

Mit .@ T =@ p / S D .@ T =.¡ g @ z // S folgt schließlich:
@ T
@ z

' g
c p T ;

S D

(6.29)

wo g die Schwerebeschleunigung ist. Wie zuvor bezeichnen
die Subskripte p und S jeweils einen isobaren bzw. isentro-
pen Zustand konstanten Drucks bzw. konstanter Entropie.
Der isentrope (S D const : ) unterscheidet sich vom adia-
batischen ( Q D 0 ) Temperaturgradienten ( 6.28 ) , welcher
zusätzlich die Wärmeeinträge aus radiogenerWärmeproduk-
tion, Dissipation kinetischer Energie und Kompression durch
äußere Drücke berücksichtigt. Das isentrope Temperaturpro-
fil der Erde kann als geeignete Bezugsgröße dienen, welche
den Einfluss der Kompressibilität auf die Temperatur ver-
deutlicht. Dagegen ist es eine schlechte Näherung für die