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der Laplace- bzw. Poisson-Gleichung. Instationärer Trans-
port erfolgt dagegen entweder durch Diffusion, Advektion
oder die Ausbreitung von Wellen.
Diffusion ist im Gegensatz zur Fortpflanzung elastischer
oder elektromagnetischer Wellen ein vergleichsweise lang-
samer Ausbreitungsprozess. In der Geophysik beschreibt er
die Ausbreitung von: (1) Wärme in Abwesenheit irgendwel-
cher Fluidströmungen aus Bereichen hoher Temperatur in
Bereiche niederer Temperatur - dies wird in Kap. 6 noch
ausführlich behandelt; (2) Stoffen aus Bereichen hoher Kon-
zentration in Bereiche geringer Konzentration; (3) elektri-
schen und Magnetfeldern aus Gebieten mit großer Feldstärke
in solche mit kleiner Feldstärke. Mathematisch werden al-
le diese Diffusionsprozesse durch eine parabolische partielle
Differenzialgleichung zweiter Ordnung beschrieben, wel-
che durch eine einfache Ableitung nach der Zeit und eine
zweifache Ableitung nach dem Ort gekennzeichnet ist. Eine
andere partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung wur-
de bereits in Kap. 3 mit der hyperbolischen Wellengleichung
diskutiert, die jeweils eine zweifache Ableitung nach dem
Ort und der Zeit aufweist. Auch die partielle Differenzial-
gleichung erster Ordnung, welche die Advektion vonWärme
mit einem strömenden Fluid beschreibt, gehört zu den hy-
perbolischen Differenzialgleichungen. Sie weist jeweils eine
einfache Ableitung nach dem Ort und der Zeit auf (wir wer-
deninKap. 6 auf sie zurückkommen bei der Diskussion des
gemischt diffusiv-advektiven Wärmetransports). Die diffu-
sive Ausbreitung von Wärme und Stoffen kann durch eine
Diffusionsgeschwindigkeit charakterisiert werden, der aber
andere physikalische Gesetzmäßigkeiten zugrunde liegen als
der Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer oder
elastischer Wellen.
Dagegen ist die Diffusion des Magnetfelds in einen Kör-
per hinein die des gesamten Magnetfelds, bestehend aus
einem äußeren und einem Feld im Innern des Leiters. Das
vorgegebene äußere Feld breitet sich mit Lichtgeschwindig-
keit aus und ist daher überall gleichzeitig gegenwärtig. Im
Unterschied dazu bildet sich das innere Magnetfeld durch
Induktion von elektrischen Strömen im elektrisch leitenden
Körper sehr viel langsamer aus. Entsprechend der lenzschen
Regel ist es so gerichtet, dass es das äußere Feld im Leiter
schwächt und mit diesem vektoriell addiert ein möglichst
kleines Gesamtfeld ergibt. Je höher die elektrische Leit-
fähigkeit des Leiters, desto kleiner ist dieses resultierende
Gesamtfeld - im Grenzfall unendlich hoher Leitfähigkeit
wird das Leiterinnere völlig frei von jeglichem Magnetfeld.
Im Unterschied zur Wärme- oder Stoff-Diffusion diffundiert
also nicht das äußere Magnetfeld in den Leiter hinein - es ist
ja durch seine Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit bereits
allgegenwärtig. Vielmehr entwickelt sich das Gesamtfeld im
Leiter diffusiv.
Mit der durch die Diffusion bewirkten zeitlichen Ände-
rung des Magnetfelds ist nach der 3. Maxwell-Gleichung
(Tab. 5.2 ) im Prinzip auch die Induktion eines elektrischen
Felds verbunden:
Induktion D @ B
1
0 ¢ r 2 B
„ ƒ‚ …
Diffusion
r E
@ t D
:
(5.17)
„ƒ‚…
Nach der 4. Maxwell-Gleichung (Tab. 5.2 ) erzeugen die
induzierten elektrischen Felder ihrerseits wiederum magne-
tische Wirbelfelder, welche die Stromlinien umkreisen:
r B D ¢ E C © @ E
@ t :
(5.18)
Der Induktionsparameter Q ist ein Maß für die Stärke der
induzierten elektrischen Felder:
Q 2 D L 2 ¨ 0 ¢;
(5.19)
wobei ¨ die Kreisfrequenz ist sowie ¢ und L die elektrische
Leitfähigkeit und eine charakteristische Größe für den Kör-
per sind, in dem der Induktionsprozess stattfindet. Charakte-
ristische Werte für L sind 1000 km bezüglich des Erdkerns
und 10 000 km-100 000 km bezüglich der Magnetosphäre
und des Sonnenwinds. Anschaulich beschreibt der Indukti-
onsparameter Q D L =• das Verhältnis d er charak teristischen
Länge L und der Eindringtiefe • D p 2=¨ 0 ¢ (wenn man
in ( 5.19 ) die charakteristische Länge zu L 2 D 2 L 1 L 2 setzt,
wobei L 1 und L 2 die für das jeweilige Problem charakteris-
tischen Längen in zwei räumlichen Dimensionen sind).
Aus dieser Definition folgt unmittelbar, dass der Indukti-
onsprozess den gesamten in Frage stehenden Körper erfasst,
wenn Q größer als eins ist. Große Körper sind daher immer
im induktiven Bereich. Deshalb können Magnetfelder auch
nicht tief in sie eindringen, da in diesen Körpern unmittel-
bar entsprechend ( 5.18 ) eigene, den ursprünglichen Feldern
entgegengerichtet Magnetfelder entstehen.
Überwiegt in ( 5.16 ) dagegen der advektive Term, so dif-
fundiert das Magnetfeld nur sehr wenig und wird mit dem
Strömungsfeld v fortgetragen. Man spricht dann davon, das
Magnetfeld sei eingefroren ( frozen flux theorem bzw. Alf-
vén's theorem ). Die zeitlichen Änderungen des Magnetfelds
erzeugen nach der 3. Maxwell-Gleichung (Tab. 5.2 ) wieder-
um ein elektrisches Wirbelfeld:
Induktion D @ B
r E
@ t Dr. v B /
;
(5.20)
„ƒ‚…
„ ƒ‚ …
Advektion
welches nach ( 5.18 ) erneut ein Magnetfeld erzeugt.
Der hier verwendete Begriff „einfrieren“ ist unabhängig
von der Temperatur zu verstehen und bedeutet, dass die Ma-
gnetfeldlinien fest mit der strömenden Materie verbunden
sind, beispielsweise dem Plasma der Magnetosphäre oder
dem flüssigen Eisen des äußeren Erdkerns. Eine solche feste
 
 
 
 
 
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