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vorkommen, teilt ihm eine Wavelet-Analyse mit, wann er
bestimmte Akkorde spielen müsste. Der zweite Unterschied
zwischen Fourier- und Wavelet-Transformation liegt in ih-
ren unterschiedlichen Basisfunktionen: Den harmonischen
Funktionen (Sinus und Kosinus bzw. die komplexe Exponen-
tialfunktion) auf der einen Seite und den namensgebenden
Wavelets (oszillierende Funktionen begrenzter Länge) auf
der anderen. Zwar oszillieren die Wavelet-Basisfunktionen
wie die harmonischen Funktionen. Sie sind aber lokal fokus-
siert, da ihre Amplitude stark mit der Entfernung von ihrem
Zentrum abklingt. Aufgrund dieser Eigenschaft ist den als
Skalogrammen bezeichneten Wavelet-Spektren eine lokale
Umgebung zuordnet.
Die vertikale Schwerebeschleunigung g
.
P
/
am Punkt
P
.
x
;
y
;
z
/
ist gegeben durch das Volumenintegral des Pro-
dukts der Dichteverteilung
¡.
Q
/
der vertikalen Prismen
an den zwischen den Höhen z
1
und z
2
gelegenen Quell-
punkten Q
.
x
;
y
/
einerseits und der Vertikalbeschleunigung
a
z
.
P
;
Q
/
durch eine Punktmasse am Quellpunkt andererseits:
mit geophysikalischen Anwendungen auf das Schwere- und
4.3.1.4 Bouguer-Reduktion
•
g
B
und atmosphärische Reduktion
g
A
Die
Bouguer-
Reduktion
•
g
B
berücksichtigt die Gravitati-
onswirkung einer symmetrisch um den Messpunkt gelege-
nen, ebenen Kugelschale konstanter Dichte, deren Dicke
h gerade der Höhe des Messpunktes über dem Niveauel-
lipsoid entspricht. Man erhält sie, indem man die vertika-
le Gravitationsbeschleunigung durch ein Volumenelement
d
•
g
D
GzdV
=
r
3
in Kugelkoordinaten in den Grenzen von
r
E
r
r
E
C
h für den Radius,
0 œ 2
für die Länge
•
•
g
B
D 2
G
¡
h
topo
<
=
.
r
E
C
h
/
cos
‚
r
E
q
1
:
:
;
g
.
x
;
y
;
z
/ D
R
v
¡.
x
0
;
y
0
/
a
z
.
x
x
0
;
y
y
0
;
z
z
0
/
dx
0
dy
0
dz
0
.Da-
mit gilt:
.
r
E
C
h
/
2
C
r
E
2.
r
E
C
h
/
r
E
cos
‚
(4.82)
Z
Z
Hierbei ist
‚
der halbe Öffnungswinkel des die Kugelschale
begrenzenden Kegels, dessen Spitze im Erdmittelpunkt liegt.
Für eine geschlossene Kugelschale ergibt sich insbesondere
(
‚ D
):
•
g
B
D 4
G
¡
h
topo
. Der Krümmungsradius der Ku-
gelschale wird durch
r
S
r
‚
D
r
E
‚ D
r
E
arccos
r
E
r
E
C
h
topo
¡.
x
0
;
y
0
/
g
.
x
;
y
;
z
/ D
1
1
0
1
Z
z
2
@
A
a
z
.
x
x
0
;
y
y
0
;
z
z
0
/
dz
0
dx
0
dy
0
z
1
p
2
r
E
h
topo
(4.83)
angenähert, da einerseits der Winkel
‚
klein und anderer-
für Höhen oberhalb des Niveauellipsoids abgezogen, für Hö-
hen unterhalb des Bezugsniveaus addiert.
Die Absenkung der Oberfläche der Kugelschale relativ
zur Horizontalen am Punkt P ist:
„
ƒ‚
…
Ÿ.
xx
0
;
yy
0
/
Z
Z
¡.
x
0
;
y
0
/Ÿ.
x
x
0
;
y
y
0
/
dx
0
dy
0
;
1
1
(4.81)
Ÿ.
x
x
0
;
y
y
0
/
den Beitrag eines von
.
x
0
;
y
0
;
z
1
/
wobei
.
x
0
;
y
0
;
z
2
/
bis
reichenden vertikalen Linienelements dar-
Konvolution der Dichte mit der Funktion
Ÿ
. Durch Fourier-
Transformation vereinfacht sich dieses Konvolutionsinte-
gral zu dem wesentlich weniger aufwändig zu berechnen-
den Produkt der Fourier-Transformierten von
¡
und
Ÿ
.Dies
macht die Berechnung der Gravitationswirkung der topogra-
fischen Massen im Frequenzbereich attraktiv, da mit der FFT
die Fourier-Transformationen und die erforderliche inverse
Transformation zurück in den Ortsbereich sehr effektiv sind.
Mit der Wavelet-Transformation geht man analog vor.
Unterschiede bestehen jedoch einerseits in den unterschied-
lichen Basisfunktionen, andererseits aber in den durch
ihre lokal unterschiedlichen Wellenzahlspektren gekenn-
Transformation für die Berechnung der Geländereduktion.
Eine allgemeine Einführung in die Theorie der Wavelets
r
d
2
r
E
;
d
D .
r
E
C
h
topo
/
1
cos
™
cos
™
(4.84)
wobei r
d
der zur Absenkung d gehörige Krümmungsradius
ist, die Potenzreihenentwicklung von cos
™ D
cos
.
r
d
=
r
E
/ D
1 1=2.
r
d
=
r
E
/
2
nach dem quadratischen Glied abgebrochen
wurde und r
™
sowie h
topo
gegen r
E
vernachlässigt wurden.
Die Tab.
4.2
zeigt jeweils zusammengehörige Radien, Erstre-
ckungen und Absenkungen.
Im einfachsten Fall wird die Kugelschale durch eine hori-
zontale Kreisscheibe mit Dichte
¡
und unendlichem Radius
um den Messpunkt angenähert. Auf diese Weise erhält man
die Bouguer-Reduktion als Spezialfall der Geländeredukti-
h
topo
q
r
2
C
h
topo
r
•
g
B
A
D
G
¡2
:
