Schwerefeld und Figur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 160

Masseverteilung in der Erde wiederzugeben. Die physika-
lische Äquipotenzialfläche der Erde, welche dies vermag,
ist das Geoid. Dieses weicht daher, wenn auch nur ge-
ringfügig, vom Referenzellipsoid ab (Abb. 4.24 ) . Hierbei
bewirken Massenüberschüsse oberhalb wie unterhalb des
Referenzellipsoids eine Anhebung des Geoids über das Re-
ferenzellipsoid.

4.2.2 Entwicklung des Geoids
nach Kugelfunktionen

Auch für das Potenzial des Geoids lässt sich wie für das
Gravitationspotenzial eine Kugelfunktionsentwicklung an-
geben. Da hierbei nicht mehr Radialsymmetrie vorausgesetzt
werden kann, der letzte Term der Laplace-Gleichung ( 4.40 )
also nicht mehr verschwindet, treten nun im Gegensatz zur
Entwicklung des radialsymmetrischen Gravitationspotenzi-
als ( 4.47 ) in( 4.48 ) an Stelle der legendreschen Polynome die
zugeordneten Kugelfunktionen P m
`

Abb. 4.23 Vergleich des Internationalen Referenzellipsoids mit einer
Kugel gleichen Volumens

™ 0 vom harmonischen
Grad ` und der Ordnung m. Diese erhält man analytisch, wie
in ( 3.116 ) angegeben, durch m-faches Ableiten der legen-
dresche Polynome nach deren Argument (cos ™ 0 ). Für ihre
Berechnung bieten sich jedoch numerisch effektivere Re-
kursionsformeln an (Press et al. 2007 ) . Für ausschließlich
äußere Beobachtungspunkte (r

cos

schwere aus der Formel von Somigliana berechnet werden:

a ” a cos 2 ¥ C c ” c sin 2 ¥
p a 2 cos 2 ¥ C c 2 sin 2 ¥

1 C ksin 2 ¥
p 1 e 2 sin 2 ¥ ” 0 .¥/ D D ” a :

(4.63)
Hierbei sind a und c sowie ” a und ” c die großen und kleinen
Halbachsen des GRS80-Referenzellipsoids bzw. die Nor-
malschwerewerte am Äquator und am Pol (siehe Tab. 7.7 ) .
Ebenfalls im GRS80 definiert sind die Normalschwerekon-
stante k D

r E ) lautet das Gravitati-

onspotenzial ( 4.48 ) :

r E

r `

X ` X

GM E
r

. C m
`

cos m œ C S m
`

U g D sin m œ/

c ” c a ” a
a ” a D 0;001 931 851 353 und die erste nu-
merische Exzentrizität e 2

mD 0

` D 0

a 2 c 2
a 2

D D 0;006 694 380 022 90 .

P m

` . cos ™ 0 /

bzw.

Eine Reihenentwicklung ergibt:

r E

r ` C 1

X ` X

GM E
r E

. C m
`

cos m œ C S m
`

U g D sin m œ/

” 0 .¥/ D ” a .1 C 0;005 279 0414 sin 2 ¥
C 0;000 023 2718 sin 4 ¥
C 0;000 000 1262 sin 6 ¥
C 0;000 000 0007 sin 8 ¥/

` D 0 mD 0

P m ™ 0 /:

` .

cos (4.66)

Üblicherweise werden hierbei die zugeordneten Kugelfunk-
tionen P m
`

. ms 2 /

(4.64)

cos ™ 0 in der Vollständigen Normierung ( 3.120 )
verwendet. Die bei dieser Kugelfunktionsentwicklung auf-
tretenden Koeffizienten C m
`

Sie wurde letztmals 1980 auf dem IAG-Kongress in Canber-
ra verfeinert und reproduziert und S m

`

” 0 mit einem relativen Fehler
von g = g D 10 10 bzw. g D 0;001 ms 2 . Neben die-
ser Reihenentwicklung finden sich in der Literatur auch noch
die älteren von 1930 (GRS30) und 1967 (GRS67). Diese re-
produzieren g n mit einem relativen Fehler von 1 ms 2 .Sie
werden wie folgt in die GRS80 Formel umgerechnet:

werden mit den For-
meln ( 3.125 ) und ( 3.126 ) anhand von Schwerewerten f

.™ 0 ;œ/
bestimmt, die an Land, auf Schiffen, in Flugzeugen und
in Satelliten gemessen wurden. Dies erfolgt näherungswei-
se, da sich die erste Summation in ( 4.66 ) nur bis zu einem
bestimmten maximalen harmonischen Grad ` max erstreckt.
Der Koeffizient C 0 skaliert das Produkt GM E und wird da-
her gleich eins gesetzt. Die zum ersten harmonischen Grad
` D 1 gehörenden Koeffizienten (C 1 ,C 1 ,S 1 ) beziehen sich
auf geozentrische Koordinaten und verschwinden, wenn der
Ursprung des Koordinatensystems im Erdmittelpunkt liegt.
Die Koeffizienten C 2 und S 2 stehen im Zusammenhang mit
der mittleren Lage des Pols der Erdumdrehung. Die Glei-

” 1980
0

” 1930
0

D163 C 137 sin 2 ¥. ms 2 / I

(4.65a)

” 1980
0

” 1967
0

D 8;316 C 0;782 sin 2 ¥
0;007 sin 4 ¥. ms 2 /:

(4.65b)

Trotz dieser Genauigkeit bleibt das Referenzellipsoid eine
Näherung. Insbesondere vermag es nicht die Variationen der