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m
2 C
3
2
Benutzt man statt der reduzierten Polhöhe die reduzier-
te Breite ( 0 D 90 ° ¥ 0 ), so gilt: cos 0 D sin ¥ 0 und
sin 2 0 D 1 cos 2 0 D 1 sin 2 ¥ 0 . Zusätzlich wird im
Folgenden die reduzierte durch die geografische Breite ¥
ersetzt. Bei der Anwendung der Formeln müssen die redu-
zierten Breiten ¥ 0 also mit ( 4.51 ) in geografische Breiten
umgerechnet werden.
Für oberflächennahe Aufpunkte kann man bei den klei-
nen Korrekturgrößen in der Klammer mit r D a den Radius
durch den Äquatorradius annähern. Auflösen nach r und
Identifizieren des Potenzials U mit dem Potenzial U 0 des Ni-
veauellipsoids ergibt eine Näherung für dessen Ortsvektor r 0
(f: geometrische Abplattung; m D a z = a g : Beschleunigungs-
quotient ( 4.21 ) ):
Aus ( 4.57 ) und ( 4.59 ) ergibt sich: f
J 2
sowie
3
2
“ 2 m
J 2 . Hieraus folgt das für die klassische Geo-
däsie zentrale Theorem des französischen Astronomen und
Mathematikers Alexis Claude Clairaut (1713-1765):
2 a 3
GM E :
a c
a
c a
a
5
2
5
2
f C “ D
C
D
m D
(4.61)
Die Bedeutung des clairautschen Theorems besteht darin,
dass es die geometrischen und Schwereabplattungen f und
mit dem Beschleunigungsquotienten m ( 4.21 ) aus äquatoria-
ler Zentrifugal- und Gravitationsbeschleunigung verknüpft.
Die weitreichende Folgerung aus dieser in linearer Näherung
gültigen Beziehung besteht darin, dass die geometrische
Abplattung der Erde aus rein dynamischen, durch Schwe-
remessungen zugänglichen Größen bestimmt werden kann.
Näherungen höherer Ordnung, die auch die Abweichung
der wahren Schwere von der Normalschwere berücksichti-
gen, werden der Genauigkeit heutiger Schweredaten besser
gerecht, ändern aber nichts an diesem fundamentalen Zu-
sammenhang.
Zur Berechnung der Normalschwere im erdnahen Au-
ßenraum als Funktion von Breite und Höhe genügt eine
Taylor-Entwicklung des Normalschwerepotenzials nach der
Höhe h bis zum quadratischen Glied (Torge 2003 , S. 98):
3
2
GM E
U 0
1
2
m
2 .1 sin 2 ¥/
sin 2 ¥
r 0
1 J 2
C
2
4
3
5
3
GM E
U 0
J 2
2
m
2
J 2
2
m
2
sin 2 ¥
D
1 C
C
C
ƒ‚
„ ƒ‚ …
af =. GM E = U 0 /
a =. GM E = U 0 /
D a .1 fsin 2 ¥/ :
(4.57)
Da das Niveauellipsoid nahezu sphärische Äquipotenzialflä-
chen besitzt, erhält man die Normalschwere näherungswei-
se durch Ableiten von ( 4.56 ) nach r und, wie oben, Annähern
des Radius r durch den Äquatorradius a bei den kleinen Kor-
rekturgrößen in der Klammer:
h 2
a .1 C f C m 2
a 2
fsin 2 ¥/
”.
h
;¥/ D ” 0
1
h C
;
(4.62)
wobei f und m die geometrische Abplattung ( 4.20 ) und der
Beschleunigungsquotient aus äquatorialer Zentrifugal- und
Gravitationsbeschleunigung ( 4.21 ) sind. Der lineare Term
dieser Näherung berücksichtigt bereits die Krümmung des
Ellipsoids, der quadratische dagegen geht von einer sphä-
rischen Geometrie aus. Hierbei kann h entweder die ortho-
metrische oder ellipsoidische Höhe bezeichnen (zur Defini-
tion der Höhen siehe Abschn. 4.3.1.3 ) . Auf eine Ableitung
von ( 4.62 ) wird hier verzichtet - man findet sie z. B. bei
Torge ( 2003 ) , S. 93-98 und Hofmann-Wellenhof & Moritz
( 2006 ) , S. 81-82. Für größere Höhen existieren entsprechen-
de Ableitungen für ”. h ;¥/ aus dem Normalschwerepotenzi-
al U 0 als Lösung der Laplace-Gleichung in Ellipsoidkoor-
dinaten (siehe z. B. Hofmann-Wellenhof & Moritz ( 2006 ) ,
S. 64-81). Eine Lösung in geschlossener Form wurde von
Li & Götze ( 2001 ) angegeben.
Für das Internationale Referenzellipsoid, dessen Kenn-
zahlen im Abschn. 4.1.2 zusammengefasst sind und das in
Abb. 4.23 im Vergleich mit der volumengleichen Kugel dar-
gestellt ist, kann aus der Ableitung seines Schwerepotenzi-
als ( 4.54 ) die zugehörige Schwerebeschleunigung berechnet
werden. Aus deren Radial- und Transversal-Komponenten
kann dann nach Umrechnung von reduzierter Polhöhe 0 in
reduzierte und geografische Breite
3
2
2 r E
GM E
r 2
1
2
cos 2
GM E sin 2
:
(4.58)
Um die Normalschwere 0 auf dem Niveauellipsoid zu er-
halten, setzt man für den Radius r den mittleren Ausdruck
aus ( 4.57 ) ein, entwickelt den Nenner in eine Potenzreihe
und vernachlässigt die nichtlinearen Glieder. Wie oben er-
setzt man die Polhöhe durch die Breite ( ™ D 90 ° ¥ ;
cos ™ D sin ¥ ;sin 2 ™ D 1 sin 2 ¥ ) und erhält als Näherung
der Normalschwere die newtonsche Schwereformel:
1 3 J 2
2
4
3
5
1 2 m C
U 0
GM E
1
2
2 m 3
2
sin 2 ¥
0 .¥/ D
J 2
C
J 2
ƒ‚
„ ƒ‚ …
a “=. U 0 = GM E /
a =. U 0 = GM E /
D ” a .1 C “ sin 2 ¥/ ;
(4.59)
wobei die analog zur geometrischen Abplattung ( 4.20 )
definierte Schwereabplattung der Erde als Funktion der Nor-
malschwere am Äquator und am Pol ist:
die breiten-
abhängige, auf dem Ellipsoid senkrecht stehende Normal-
¥ 0
bzw.
¥
“ D .” c a /=” a :
(4.60)
 
 
 
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