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m
2
C
3
2
Benutzt man statt der reduzierten Polhöhe die reduzier-
te Breite (
™
0
D 90
°
¥
0
), so gilt: cos
™
0
D
sin
¥
0
und
sin
2
™
0
D 1
cos
2
™
0
D 1
sin
2
¥
0
. Zusätzlich wird im
Folgenden die reduzierte durch die geografische Breite
¥
ersetzt. Bei der Anwendung der Formeln müssen die redu-
umgerechnet werden.
Für oberflächennahe Aufpunkte kann man bei den klei-
nen Korrekturgrößen in der Klammer mit r
D
a den Radius
durch den Äquatorradius annähern. Auflösen nach r und
Identifizieren des Potenzials U mit dem Potenzial U
0
des Ni-
veauellipsoids ergibt eine Näherung für dessen Ortsvektor r
0
(f: geometrische Abplattung; m
D
a
z
=
a
g
: Beschleunigungs-
J
2
sowie
3
2
“ 2
m
J
2
. Hieraus folgt das für die klassische Geo-
däsie zentrale Theorem des französischen Astronomen und
Mathematikers Alexis Claude Clairaut (1713-1765):
2
a
3
GM
E
:
a
c
a
”
c
”
a
”
a
5
2
5
2
f
C “ D
C
D
m
D
(4.61)
Die Bedeutung des clairautschen Theorems besteht darin,
dass es die geometrischen und Schwereabplattungen f und
“
ler Zentrifugal- und Gravitationsbeschleunigung verknüpft.
Die weitreichende Folgerung aus dieser in linearer Näherung
gültigen Beziehung besteht darin, dass die geometrische
Abplattung der Erde aus rein dynamischen, durch Schwe-
remessungen zugänglichen Größen bestimmt werden kann.
Näherungen höherer Ordnung, die auch die Abweichung
der wahren Schwere von der Normalschwere berücksichti-
gen, werden der Genauigkeit heutiger Schweredaten besser
gerecht, ändern aber nichts an diesem fundamentalen Zu-
sammenhang.
Zur Berechnung der Normalschwere im erdnahen Au-
ßenraum als Funktion von Breite und Höhe genügt eine
Taylor-Entwicklung des Normalschwerepotenzials nach der
3
2
GM
E
U
0
1
2
m
2
.1
sin
2
¥/
sin
2
¥
r
0
1
J
2
C
2
4
3
5
3
GM
E
U
0
J
2
2
m
2
J
2
2
m
2
sin
2
¥
D
1 C
C
C
„
ƒ‚
…
„ ƒ‚ …
af
=.
GM
E
=
U
0
/
a
=.
GM
E
=
U
0
/
D
a
.1
fsin
2
¥/ :
(4.57)
Da das Niveauellipsoid nahezu sphärische Äquipotenzialflä-
chen besitzt, erhält man die Normalschwere
”
näherungswei-
des Radius r durch den Äquatorradius a bei den kleinen Kor-
rekturgrößen in der Klammer:
h
2
a
.1 C
f
C
m
2
a
2
fsin
2
¥/
”.
h
;¥/ D ”
0
1
h
C
;
(4.62)
Beschleunigungsquotient aus äquatorialer Zentrifugal- und
dieser Näherung berücksichtigt bereits die Krümmung des
Ellipsoids, der quadratische dagegen geht von einer sphä-
rischen Geometrie aus. Hierbei kann h entweder die ortho-
metrische oder ellipsoidische Höhe bezeichnen (zur Defini-
de Ableitungen für
”.
h
;¥/
aus dem Normalschwerepotenzi-
al U
0
als Lösung der Laplace-Gleichung in Ellipsoidkoor-
S. 64-81). Eine Lösung in geschlossener Form wurde von
Für das Internationale Referenzellipsoid, dessen Kenn-
zahlen im Abschn.
4.1.2
zusammengefasst sind und das in
Abb.
4.23
im Vergleich mit der volumengleichen Kugel dar-
gestellt ist, kann aus der Ableitung seines Schwerepotenzi-
werden. Aus deren Radial- und Transversal-Komponenten
kann dann nach Umrechnung von reduzierter Polhöhe
™
0
in
reduzierte und geografische Breite
3
2
2
r
E
GM
E
r
2
1
2
cos
2
™
GM
E
sin
2
™
:
(4.58)
Um die Normalschwere
”
0
auf dem Niveauellipsoid zu er-
halten, setzt man für den Radius r den mittleren Ausdruck
und vernachlässigt die nichtlinearen Glieder. Wie oben er-
setzt man die Polhöhe durch die Breite (
™ D 90
°
¥
;
cos
™ D
sin
¥
;sin
2
™ D 1
sin
2
¥
) und erhält als Näherung
der Normalschwere die newtonsche Schwereformel:
”
1 3
J
2
2
4
3
5
1 2
m
C
U
0
GM
E
1
2
2
m
3
2
sin
2
¥
”
0
.¥/ D
J
2
C
J
2
„
ƒ‚
…
„ ƒ‚ …
”
a
“=.
U
0
=
GM
E
/
”
a
=.
U
0
=
GM
E
/
D ”
a
.1 C “
sin
2
¥/ ;
(4.59)
definierte Schwereabplattung der Erde als Funktion der Nor-
malschwere am Äquator und am Pol ist:
die breiten-
abhängige, auf dem Ellipsoid senkrecht stehende Normal-
¥
0
bzw.
¥
“ D .”
c
”
a
/=”
a
:
(4.60)