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Kasten 4.3
Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten durch Trennung der Variablen
Für die gewöhnliche homogene Differenzialgleichung
zweiter Ordnung in
gilt:
D
cos
™
, wie schon
@
@™
D
@
@
@
@™
D
sin
™
@
d
d
d
d
..1
2
/
M
0
/
D .1
2
/
M
00
2
M
0
D`.` C 1/
M
;
dM
d
.1
2
/
r
2
@
W
@
D
@
@
@
@
.1
2
/
@
W
@
W
D
C
r
r
also:
1
2
@
2
W
1
0 D .1
2
/
M
00
2
M
0
C `.` C 1/
M
:
C
D 0:
@œ
2
(4.46)
Für eine radialsymmetrische, sphäroidale Erde ver-
schwindet der letzte Term der Laplace-Gleichung und
man erhält:
@
@
r
chung genannt, da die legendreschen Polynome P
`
./ D
P
`
.
r
2
@
W
@
r
.1
2
/
@
W
@
@
@
cos
™/
C
D 0:
(4.41)
ist also die Linearkombination der Produkte
aller möglichen Lösungen für R und M:
.
r
/
M
./
Jeder der beiden Terme dieser Gleichung variiert entwe-
der mit r oder
bzw. den Ableitungen nach diesen beiden
Koordinaten. Es liegt somit nahe, nach einer Lösung für
W zu suchen, die das Produkt zweier Funktionen ist, wel-
che jeweils nur von r oder
abhängen. Diese
Trennung
der Variablen
ergibt also W
D
R
.
r
/
M
./
, und Einsetzen
A
`
r
`
C
P
`
.
cos
™/ :
X
1
B
`
r
`
C
1
W
.
r
;™/ D
R
.
r
/
M
.™/ D
`
D
0
(4.47)
Lösungen der Laplace-Gleichung werden als „harmoni-
sche Funktionen“ bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft
harmonischer Funktionen ist, dass auch jede ihrer räum-
lichen Ableitungen wieder eine Lösung der Laplace-
Gleichung ist. Somit ist neben
.1=
r
/
auch
@.1=
r
/=@
z
r
2
@
R
.
r
/
@
r
.1
2
/
@
M
./
@
R
.
r
/
@
@
r
1
M
./
@
@
C
D 0:
(4.42)
Dies ist genau dann erfüllt, wenn beide Terme derselben,
frei wählbaren Separationskonstanten mit unterschiedli-
chem Vorzeichen gleichen. Für eine ganze Zahl
`
wird
diese festgesetzt als
`.` C 1/
. Somit wird durch die
Trennung der Variablen die homogene partielle (lapla-
cesche) Differenzialgleichung zweiter Ordnung in ein
System von zwei homogenen gewöhnlichen Differenzi-
algleichungen erster Ordnung überführt. Man betrachtet
hiervon zunächst jene, die nur mit r variiert:
D
z
r
2
eine Lösung, welches das Potenzial
eines elektrischen oder magnetischen Dipols ist, wobei z
durch z
D
rcos
=
r
3
D
cos
™=
™
definiert ist.
Weist das Potenzialfeld keine Rotationssymmetrie
auf, so wird die Abhängigkeit von der Länge
œ
berücksichtigt und die
Abhängigkeit von der Polhöhe
™
durch die zugeordneten
Kugelfunktionen P
m
œ
`
.
cos
™/
ausgedrückt:
r
2
dR
dr
d
dr
d
dr
.
r
2
R
0
/ D `.` C 1/
D
R
A
`
r
`
C
X
1
B
`
r
`
C
1
D 2
rR
0
C
r
2
R
00
;
also:
W
.
r
;™;œ/ D
R
.
r
/
M
.™/ D
0 D
r
2
R
00
C 2
rR
0
`.` C 1/
R
:
(4.43)
`
D
0
`
X
Solche quadratischen Gleichungen besitzen Lösungen
der Form: R
D
r
'
, und Einsetzen ergibt die Bestim-
mungsgleichung für
'
:
.
C
m
`
cos m
œ C
S
m
`
sin m
œ/
„
ƒ‚
…
m
D
0
Fourier-Reihenentwicklung
nach der Länge
œ
P
m
`
.
cos
™/
:
(4.48)
'.'1/C2'`.`C1/ D 0 D .'`/.'C`C1/ ;
(4.44)
„ ƒ‚ …
zugeordnete
Kugelfunktion
der Polhöhe
welche die beiden Lösungen
'
1
D `
und
'
2
D.` C 1/
besitzt. Damit ist R gleich:
™
R
D
Ar
`
C
Br
.`
C
1/
:
(4.45)
