Schwerefeld und Figur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 142

Abb. 4.8 Komponenten der a li-
nearen Geschwindigkeit v sowie
b Zentripetalbeschleunigung a in
einem mit der Winkelgeschwin-
digkeit

Abb. 4.9 Zentrifugalbeschleu-
nigung a z in der Breite ¥ bzw.

Polhöhe auf einer mit der

Winkelgeschwindigkeit

™

ro-
tierenden Kugel (nach © Lowrie
2007 )

¨

und dem Radius r in
der Bildfläche gegen den Uhr-
zeigersinn rotierenden System
(© Lowrie 2007 )

¨

schleunigung a z 0 :

a x
a y

¨ 2 rcos

/
¨ 2 rsin .¨ t /

.¨ t

D¨ 2 r :

a z 0 D D (4.18)

Vom Betrag her gleich, aber entgegengerichtet ist die Zentri-
fugalbeschleunigung a z :

v 2
r r ;

a z D ¨ 2 r D (4.19)

auf der Erdoberfläche, so verschwindet die Summe der zwei-
fachen Ortsableitungen des Gravitationspotenzials. Daher
erfüllt es die Laplace-Gleichung und ist somit eine harmoni-
sche Funktion. Somit ist das Gravitationspotenzial eindeutig
durch Vorgabe seiner Werte auf der Erdoberfläche bestimmt,
und die Schwerebeschleunigung kann aus ihm durch Bil-
dung des Gradienten berechnet werden. Dennoch existieren
beliebig viele Massenverteilungen innerhalb der Erde mit
dem gleichen, durch die harmonische Funktion U g bestimm-
ten Schwerepotenzial.

die von der Drehachse weg weist. Der Abstand eines Punk-
tes mit dem Radiusvektor r von der Drehachse beträgt x D
rsin ™ , wobei die Polhöhe ™ ist (Abb. 4.9 ) . Damit folgt für die
nach außen, in X-Richtung gerichtete Zentrifugalbeschleuni-
gung a z ; x D ¨ 2 x.
Aus der Perspektive eines Inertialsystems ist die Zentri-
petalkraft die Führungskraft, welche die für eine Rotation
wie die Erdumdrehung erforderliche ständige Richtungs-
änderung bewirkt. Die Zentrifugalkraft existiert aus dieser
Perspektive nicht. Sie ist eine sogenannte Scheinkraft, die
Reaktion auf die Beschleunigung der Koordinatenrichtungen
des geozentrischen Systems. Sie wirkt auf jeden Körper im
rotierenden System. Weitere auf der Erde relevante Schein-
kräfte stehen im Zusammenhang mit den in Abschn. 4.1.5
behandelten Coriolis- und Eötvös-Beschleunigungen, die auf
Körper wirken, welche nicht relativ zum rotierenden System
ruhen, sondern sich in diesem bewegen.
Die Erde ist nicht starr. Ihre Oberfläche hat sich über lan-
ge Zeiten hinweg auf die kombinierte Wirkung aus Schwer-
und Zentrifugalkraft eingestellt. Als geodätischer Bezugs-
körper, der eine gute Anpassung an die Erdoberfläche und
das äußere Schwerefeld gewährleistet, wurde daher ein ab-
geplattetes Rotationsellipsoid definiert, dessen Oberfläche
eine Niveaufläche seines eigenen Schwerefelds darstellt. Da-
mit ist nach dem stokesschen Satz (siehe Abschn. 4.1.1 )
das Schwerefeld im Außenraum dieses Niveauellipsoids ein-
deutig definiert. Eine Anpassung seiner Parameter an die
Geometrie einer mittleren Niveaufläche des Schwerefelds
der Erde, das sogenannte Geoid, sowie an ihr äußeres Schwe-
refeld ergibt ein mittleres Erdellipsoid, welches am Pol etwas
abgeplattet ist und einen kleinen Äquatorwulst besitzt. Ein

4.1.2 Erdumdrehung

Die mit der Winkelgeschwindigkeit rotierende Erde ist
kein Inertialsystem. Die durch die Erdumdrehung bedingte
beständige Richtungsänderung aller Massepunkte der Erde
wird durch eine Kraft bewirkt, die (zentrumssuchende) Zen-
tripetalkraft. Diese weist auf die Drehachse zu und gleicht
die entgegen gerichtete (zentrumsflüchtende) Zentrifugal-
kraft aus. Dadurch wird die Kreisbahn um die Drehachse
aufrechterhalten. Die X- und Y-Komponenten der linearen
Geschwindigkeit v an einem durch den Radiusvektor r be-
zeichneten Punkt, der einen Winkel von ® D ¨ tmitder
X-Achse aufspannt, sind (Abb. 4.8 ) :

v x
v y

vsin .¨ t /
vcos

¨ rsin .¨ t /
¨

v D D D :

.¨ t / rcos .¨ t /

(4.17)
Durch Ableitung nach der Zeit erhält man die Komponenten
der in Richtung der Drehachse weisenden Zentripetalbe-