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Abb. 4.7
Gravitationsbeschleunigung
a
g
einer homogenen kugelför-
migen Erde als Funktion des Radius r (r
E
: Kugelradius)
Abb. 4.6
Zur Schwerewirkung einer Punktmasse M in einer kugelför-
migen Erde (Radius: r
E
) auf einen Punkt P
.
r
;œ;™/
als Funktion ihrer
Entfernung r
0
Dies bedeutet, dass die Gravitationsbeschleunigung in
einer homogenen Vollkugel vom Zentrum nach außen hin
linear zunimmt, um außerhalb mit dem Kehrwert des Ab-
beschleunigung in der Erde weicht hiervon jedoch wegen
ihrer tatsächlich heterogenen Dichteverteilung ab, insbeson-
Erde in einer skalaren Betrachtung berechnet werden: Mit
a
g
;
r
E
D 9;81
ms
2
,G
D 6;673 84 10
11
m
3
kg
1
s
2
und r
E
Außerhalb und auf der Oberfläche einer homogenen Erdku-
gel (r
r
E
) gleicht das Gravitationspotenzial also dem einer
gleich großen Punktmasse im Kugelmittelpunkt. Die zu-
gehörige Gravitationsbeschleunigung
a
g
erhält man hieraus
durch Ableiten nach r:
r
E
r
2
dU
g
dr
r
D
G
M
E
I
r
r
E
;
(4.13)
mit der Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche:
a
g
.
r
/ D
r
2
r
D
a
g
.
r
E
/
D
r
E
a
g
;
r
E
=
G
D
5;97 10
24
kg
6 10
24
kg und
¡
E
D 3
M
E
=.4
r
E
/ D
5515
kgm
3
, etwa das Doppelte der Dichte von Krusten-
gesteinen und ein deutlicher Hinweis darauf, dass die Erde
inhomogen ist und in der Tiefe eine größere Dichte aufweist.
Ganz allgemein kann ein Kraftfeld
g
aus dem Gradi-
enten seines Potenzials berechnet werden, wenn es wir-
Anhang). Hieraus folgt unmittelbar, dass Potenziale nur
bis auf eine Konstante bestimmt sind. Somit können theo-
retisch beliebig viele Massenverteilungen die beobachtete
Schwere verursachen. Dennoch ist nach dem stokesschen
Integralsatz das Schwerepotenzial einer berandeten Massen-
verteilung eindeutig durch seine Werte auf der Berandung
bestimmt, wenn es eine harmonische Funktion ist
32
.Als
harmonische Funktionen F werden Lösungen der Laplace-
Gleichung
a
g
.
r
E
/ D
G
M
E
r
E
r
:
(4.14)
Zur Berechnung des Gravitationspotenzials für innere Auf-
punkte (r
<
r
E
) unterteilt man die Kugel in eine innere mit
Radius r und eine Kugelschale zwischen r und r
E
. Für die in-
wobei r
E
durch r und
¡
durch
¡
E
ersetzt werden muss:
0
@
4
r
2
3
0
1
1
Z
r
E
r
M
C
Z
r
2
r
@
A
dr
M
A
dr
0
U
g
.
r
/ D
G
¡
E
C
r
M
r
r
M
r
D2
G
¡
E
r
E
r
2
3
I
r
<
r
E
:
(4.15)
bezeichnet
33
. Dies trifft auf das Gra-
F
D
0
D
Hieraus erhält man die zugehörige Gravitationsbeschleuni-
gung
a
g
:
r
0
D
p
.
x
x
M
/
2
C .
y
y
M
/
2
C .
z
z
M
/
2
den Abstand
dU
g
dr
r
D
4
¡
Gr
r
D
G
M
E
r
E
r
r
E
:
a
g
.
r
/ D
r
r
„ ƒ‚ …
mit VD
4
r
E
=3
D
a
g
.
r
E
/
3
33
In kartesischen Koordinaten:
@
2
F
x
2
C
@
2
F
y
2
F
D
=@
=@
(4.16)
C
@
2
F
=@
z
2
.
