Schwerefeld und Figur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 140

nur bei 10 4 . Ihr aktueller Wert beträgt (CODATA 2010 ) : Abb. 4.5 Zum Skalarprodukt

der Vektoren F und d r

G D 6;673 84.80/10 11 Nm 2 kg 2 . bzw. m 3 kg 1 s 2 /:
(4.5)
Die Gleichungen ( 4.1 ) , ( 4.2 ) und ( 4.4 ) definieren Kraftfel-
der, ( 4.4 ) insbesondere das der Gravitationskraft. Kraftfelder
werden in der Physik oft definiert als jene Kräfte, welche auf
eine Einheitsgröße oder -menge eines Materials wirken. So
ist z. B. das elektrische Kraftfeld eines geladenen Körpers
an einem bestimmten Ort gleich der Kraft, die es dort auf
eine Einheitsladung ausübt. Gleichung ( 4.2 ) zeigt, dass der
Vektor der Gravitationskraft proportional zur Gravitations-
beschleunigung ist. An dieser ist man in der Geophysik oft
mehr interessiert als an den Kräften selbst. Bezeichnet a g die
Gravitationsbeschleunigung, welche die Masse m durch eine
Masse M erfährt, so ergibt der Vergleich von ( 4.2 ) und ( 4.4 )
die Gravitationsbeschleunigung als das Kraftfeld der Gravi-
tation:

Gleichsetzen von ( 4.6 ) mit( 4.8 ) ergibt das Gravitationspo-
tenzial einer Punktmasse M:
dU g
dr

D G M

r 2 ;

also:

Z dU g D GM Z dr
r 2

GM
r

U g D

D :

(4.9)

GM
r 2 r :

Die Verallgemeinerung auf eine Überlagerung der Schwe-
rewirkung vieler Punktmassen der Dichte M i auf einen im
Abstand r i von ihnen gelegenen Punkt ergibt:
U g D G X
i

a g D (4.6)

Die SI-Einheit für die Beschleunigung ist ms 2 .Imheute
ungebräuchlichen CGS-System wurde die entsprechen-
de Grundeinheit 1 Gal D 10 2 ms 2 D 10 mm s 2
(Tab. 7.5 ) nach Galileo Galilei benannt. Variationen der
Gravitationsbeschleunigung der Erde werden heute übli-
cherweise in ms 2 bzw. ausgedrückt (früher in mGal D
10 ms 2 ). Die Auflösung heutiger Messgeräte ist bes-
ser als 0,05 ms 2 (bzw. 5 Gal). Bei einer mittleren
Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche von
9;8

M i
r i

: (4.10)

Die Wahl der Vorzeichen in ( 4.8 ) und ( 4.10 ) ist aus den oben
angegebenen Gründen in der Geophysik üblich. Prinzipiell
können jedoch beide Male die Vorzeichen positiv gewählt
werden, wie es in der Geodäsie gebräuchlich ist. Für ein
Dichtekontinuum ¡. r 0 / erhält man:
U g D G Z
V

ms 2 ergibt dies eine Empfindlichkeit der
Messgeräte g = g D 5 10 9 , also von fünf Milliardsteln.

ms 2

10

¡. r M /
r 0

dV M

Z

r E

Z

Z

2

¡.

r M / r M sin

™ M

4.1.1 Gravitationspotenzial

D G dr M d ™ M d œ M ; (4.11)

r 0

0 0 0

Das Gravitationspotenzial U g ist gleich der potenziellen
Energie E P einer Einheitsmasse in einem Gravitationsfeld.
Damit ist die potenzielle Energie einer Masse m im Gravita-
tionsfeld E p D mU g und ihre Änderung dE p bei konstanter
Masse dE p D mdU g . Ebenso ist die Änderung der potenziel-
len Energie gleich der Arbeit dW, die erforderlich ist, die
Masse m um die Strecke dr in Richtung r gegen das Gra-
vitationsfeld zu bewegen (negatives Vorzeichen: Arbeit wird
geleistet):

wobei dV M D r M sin ™ M dr M d ™ M d œ M das Volumenelement
der Masse M mit Radius r E in Kugelkoordinaten (r, ™ , œ )
ist. Der Abstand r 0 eines Volumenelements vom Aufpunkt
P kann mit dem Kosinussatz durch die jeweiligen Radien
r M und r von Volumenelement bzw. Aufpunkt sowie den
von ihnen aufgespannten Winkel

™ M ausgedrückt werden

(Abb. 4.6 ) : r 0 2 r 2 C r M 2 rr M cos ™ M . Damit ist r 0 dr 0 D D

rr M sin ™ M d ™ M . Setzt man hieraus dr 0 = r r M sin ™ M d ™ M = r 0

D

in ( 4.11 ) , so erhält man für r r E im Fall einer konstanten

Dichte ¡ E :

dE P D dW D F d r D Fdr cos ™: (4.7)

0 1

Z Z

r E r E Cr M

Daher gilt mit ( 4.2 ) : dE p D mdU g D F d r D m a g d r

4 r E ¡ E
3

U g D 2 G ¡ E
r

G
r

@

dr 0

A

r M dr M D

(siehe Abb. 4.5 ) . Hieraus folgt für a g :

„ ƒ‚ …
M E

r E r M

0

„ ƒ‚ …
2 r M

dU g D a g d r bzw:

dU g
dr r D grad U g Dr U g :

D G M E
r

a g D (4.8) : (4.12)