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Kasten 3.9
(Fortsetzung)
Œ
G
T
G
1
benötigt. Da
V
1
D
V
T
und damit
.
V
T
wöhnlich als Singularwerte
(singular values)
bezeichnet,
da viele Algorithmen lediglich die Inverse
Œ
G
T
G
1
be-
rechnen und die Singularwerte in absteigender Größe
sortieren:
œ
1
>œ
1
> :::œ
M
0
.
Die Kehrwerte sehr kleiner Singularwerte können bei
stark oszillierenden Ergebnissen führen. Diese können
durch Wahl eines geeigneten Dämpfungsfaktors oder
durch Unterdrücken kleiner Singularwerte vermieden
werden. Auf diese Weise erhält man eine stabile Lö-
sung, wenngleich auf Kosten der Anzahl der auflösba-
ren Parameter. Die sogenannte Modell-Auflösungsmatrix
R
D
V
p
V
p
zeigt an, wie die ursprünglichen Mo-
dellparameter über die Parameter des Inversionsmodells
verschmiert sind, welches p von null verschiedene Singu-
larwerte aufweist. Idealerweise sollte
R
eine Diagonal-
matrix sein, wenn die Inversion die wahren Modellpara-
meter wiedergibt. Abweichungen hiervon erlauben eine
qualitative Bewertung des Inversionsergebnisses. Analog
werden auch die Daten-Auflösungsmatrix
D
D
U
p
U
p
und die Kovarianz-Matrix
C
D
V
p
ƒ
p
V
p
definiert, wo-
bei die Elemente von
ƒ
p
die reziproken Quadrate der
ersten p Eigenwerte sind. Weiterführende, vertiefte Ab-
handlungen zur Inversionstheorie und ihrer Anwendung
/
1
D
V
Œ
G
T
G
1
D Œ
V
ƒ
M
.
2
/
V
T
1
D Œ
V
T
1
Œƒ
M
.
2
/
1
Œ
V
1
D
V
Œƒ
M
.
2
/
1
V
T
:
(3.84)
Zur Berechnung der verallgemeinerten Inversen
Ausdruck für die M
N-Matrix
G
T
multipliziert werden.
Hierzu bildet man die Transponierte der Eigenwertzerle-
D
V
ƒ
M
U
T
, bei der nur
die ersten M Eigenvektoren berücksichtigt werden, und
berücksichtigt, dass die Eigenwertmatrizen von
G
T
G
und
G
T
identisch sind. Damit erhält man:
D Œ
U
ƒ
M
V
T
T
G
g
D Œ
G
T
G
1
G
T
D
V
Œƒ
M
.2/
1
V
T
V
ƒ
M
U
T
„ƒ‚…
I
D
V
Œƒ
M
.2/
1
ƒ
M
U
T
:
(3.85)
Berücksichtigt man, dass die Eigenwerte in
ƒ
M
.
2
/
gerade
die Quadrate der Eigenwerte in
ƒ
M
sind, so erhält man
für die verallgemeinerte Inverse schließlich:
G
g
D Œ
G
T
G
1
G
T
D
V
ƒ
M
U
T
;
(3.86)
achtungen größer ist als die der M unbekannten Parameter
Zu diesem Zweck betrachtet man zunächst den Anpas-
sungsfehler
F
D
d
Gm
des Modells an die Daten. Würde
die Modellvorhersage den Daten exakt entsprechen, so wä-
ren alle Elemente von
F
gleich null. Da dies, wie erläutert, in
der Regel nicht zutrifft, wird nun das Umkehrproblem so for-
muliert, dass die gesuchte Lösung einen minimalen Anpas-
sungsfehler aufweist. Hierfür ist die Methode der kleinsten
Fehlerquadrate
21
eines der gebräuchlichsten Verfahren.
Es minimiert die Summe der Quadrate der Anpassungs-
fehler:
0
1
2
N
M
X
X
@
d
i
A
F
2
D
G
i
;
j
m
j
;
(3.87)
i
j
indem zunächst F
2
nach den Modellparametern m
k
abgelei-
tet und dann zu null gesetzt wird:
@
F
2
@
m
k
D
@
F
2
@
F
@
m
k
D 2
F
@
F
@
F
@
m
k
0
1
21
Der Franzose Adrien-Marie Legendre (1752-1833) prägte den Na-
men der
Méthode des moindres carrés
für diese Art von Ausgleichs-
rechnung, als er sie im Jahr 1805 im Anhang einer Arbeit über die Be-
rechnung von Kometenbahnen als Erster publizierte. Von Carl Friedrich
Gauß wird berichtet, er habe sie wohl schon 1795 im Alter von 18 Jah-
ren entwickelt. Veröffentlicht hat er sie aber erst 1809, im zweiten Band
seines himmelsmechanischen Werkes über die Theorie der Bewegung
der Himmelskörper, welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen,
einschließlich der Normalgleichungen und des gaußschen Eliminie-
rungsverfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Über die
Priorität entspann sich in der Folge eine längere Auseinandersetzung
mit Legendre. Er entwickelte ebenfalls die nach ihm benannten Poly-
(siehe Unterkapitel
7.10
im Anhang).
X
N
X
M
@
d
i
A
G
i
;
k
D 0:
D2
G
i
;
j
m
j
(3.88)
i
j
Nach Umformung erhält man hieraus:
X
N
X
N
X
M
bzw.
G
T
d
D
G
T
G
m
:
d
i
G
i
;
k
D
G
i
;
j
m
j
G
i
;
k
i
i
j
(3.89)
Hierbei bezeichnet
G
T
D
`
j
;
i
D
@
t
j
=@
