Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 87

Kasten 3.9 (Fortsetzung)

wobei ƒ 1 die Inverse von ƒ ist: Schließlich sucht man eine ähnliche Darstellung für die

Inverse G 1 . Man nutzt hierzu eine analoge Eigenwert-
zerlegung für die Transponierte G T , um die Matrix V der
entsprechenden Eigenvektoren zu finden. Da der Wert der
Determinante ( 3.69 ) gleich bleibt, wenn man Zeilen und
Spalten vertauscht, gilt entsprechend ( 3.72 )

2 3

1=œ 1 0 0 0

4 5 :

0 1=œ 2 0 0

ƒ 1 D

(3.81)

: : :

: : :

0 0 0 1=œ N

G T V D V ƒ : (3.74)

Bei vielen geophysikalischen Umkehrproblemen über-
steigt die Anzahl der (Mess-)Daten jene der Modellpa-
rameter. Zudem weisen Daten und Parameter Rauschen
und Fehler auf. Daher ist G in diesem Fall nicht mehr
quadratisch, und einige seiner Eigenwerte werden zu null
oder zumindest sehr klein. Zur Bestimmung der nicht
verschwindenden Eigenwerte wird eine verallgemeiner-
te Inverse so formuliert, dass die Abweichung zwischen
den gemessenen und den mit Hilfe des Modells vorher-
gesagten Daten minimiert wird. Beispiele hierfür finden
sich im Abschn. 3.2 und im Abschn. 6.5.3 .
Zur Bestimmung der verallgemeinerten Inversen eig-
net sich insbesondere die Methode der Eigenwertzerle-
gung ( singular value decomposition , SVD; siehe z. B.
Menke 1989 ) . Aus ( 3.80 ) folgt

Transponiert man beide Seiten,

V T G D ƒ V T ; (3.75)

multipliziert von rechts mit U und setzt ( 3.72 ) für GU ein,
so erhält man:

V T U ƒ D ƒ V T U :

(3.76)

Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn für das Pro-
dukt gilt:

V T U D I ;

(3.77)

die beiden Matrizen V T und U der Eigenvektoren also
orthogonal sind. Wie in der oben betrachteten Analogie
mit einer Koordinatentransformation bedeutet dies, dass
die Eigenvektoren, also die Koordinatenachsen, zueinan-
der orthogonal sind. Unter Berücksichtigung der Identität
U 1 U D I erhält man aus ( 3.77 ) die folgenden Beziehun-
gen zwischen den Eigenvektoren U und V der Matrizen
G und G T :

G T G D V ƒ

T

ƒ V T D V ƒ M . 2 / V T ; (3.82)

wobei V und ƒ M . 2 / M M-Matrizen sind, und die Ele-
mente von ƒ M . 2 / die Quadrate der Eigenwerte von G
sind, was durch den Index (2) angezeigt wird. Glei-
chung ( 3.82 ) entspricht der Eigenwertzerlegung von
G T G , wobei jeder Modellparameter durch einen Eigen-
wert repräsentiert wird, der allerdings nicht notwendiger-
weise von null verschieden sein muss. Die Spalten der
Matrix V enthalten die zu den Eigenwerten gehörigen Ei-
genvektoren, welche den Datenraum aufspannen (genau
wie in der Analogie mit dem Ortsvektor die räumlichen
Einheitsvektoren den euklidischen Raum).
Die entsprechende Eigenwertzerlegung für GG T lau-
tet:

V T

D U 1 I

(3.78a)

U D . V T / 1 I

(3.78b)

V D . U T / 1 I (3.78c)

U T D V 1 I (3.78d)

Berücksichtigt man, dass U und V orthogonale Matrizen
sind, für die die Inverse gleich der Transponierten ist, so
gilt zudem:

GG T

T U T

D U ƒ N . 2 / U T D U ƒ ƒ ; (3.83)

U T U D I D V T V :

(3.79)

wobei U eine N N-Matrix ist, deren Spalten die Eigen-
vektoren enthalten, welche den Datenraum aufspannen.
Die Dimension des Produkts GG T ist zwar N N, wobei
N

Setzt man ( 3.78a ) in ( 3.75 ) ein und multipliziert von links
mit U , so erhält man die gesuchten Eigenwertzerlegung
für G und G 1 :

M ist, jedoch sind nur M Eigenwerte ungleich null,
und diese sind dieselben wie in ( 3.82 ) . Die übrigen N-
M Zeilen und Spalten von ƒ N . 2 / enthalten Nullen, wenn
auch die entsprechenden Eigenvektoren nicht notwendi-
gerweise ebenfalls gleich dem Nullvektor sind.

>

G D U ƒ V T D U ƒ U 1 D U ƒ U T I (3.80a)

G 1 D U ƒ 1 V T D U ƒ 1 U 1 D U ƒ 1 U T

I (3.80b)