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Definition 3.55 (Wahrheitswert einer Formel)
Fur F
Formel
Σ
(V)
und
eine Σ-Interpretation I ist der
Wahrheitswert von
F
in
I, geschrieben [[F ]]
I
,
gegeben durch die Funktion
∈
[[ ]]
I
:
Formel
Σ
(V)
→
BOOL
mit
[[ F ]]
I
=
true
gdw. [[F ]]
I,α
=
true
fur jede Variablenbelegung α : V
→
U
I
Beispiel 3.56 (Wahrheitswert einer allquantifizierten Formel)
Eine Inter-
pretation I
1
, in der alle Elemente des Universums, die gleichzeitig die Eigenschaften
Hund(x)
und
Bellen(x)
erfullen, nicht die Eigenschaft
Beißen(x)
haben (vgl. Selbst-
testaufgabe 3.51(6)), erfullt die Formel
∀
x
Hund
(x)
∧
Bellen
(x)
⇒¬
Beißen
(x)
(
∗
)
Eine solche Interpretation I
1
konnte zum Beispiel das Universum
U
I
1
=
{
Aibo
,
Bello
,
Pluto
,
Rex
,
Rocky
,
Tim
,
Struppi
}
haben und als Interpretation der drei einstelligen Pradikate
Hund
,
Bellen
und
Bei-
ßen
die Mengen
Hund
I
1
=
{
Bello
,
Pluto
,
Rex
,
Rocky
,
Struppi
}
,
Bellen
I
1
=
{
Aibo
,
Bello
,
Pluto
,
Struppi
}
und
Beißen
I
1
=
{
Aibo
,
Rex
,
Rocky
}
.
Dann gilt namlich fur alle e
U
I
1
und Variablenbelegungen α mit α(x)=e,fur die
[[
Hund
(x)]]
I
1
,α
=
true und
[[
Bellen
(x)]]
I
1
,α
=
true
∈
gilt, auch [[
¬
Beißen
(x)]]
I
1
,α
=
true
,daaus
α(x)=e ∈
Hund
I
1
und
α(x)=e ∈
Bellen
I
1
auch α(x)=e
Beißen
I
1
folgt. Andererseits genugt es, in einer Interpretation I
2
ein einzelnes Element des Universums anzugeben, das gleichzeitig die Eigenschaften
Hund(x)
,
Bellen(x)
und
Beißen(x)
erfullt, um aufzuzeigen, dass I
2
die obige Formel
(
∈
∗
)
nicht
erfullt, d.h., dass der Wahrheitswert von (
∗
)inI
2
false
ist. Eine solche
Interpretation I
2
}
gilt und ansonsten I
2
mit I
1
ubereinstimmt. Fur die Variablenbelegung α mit α(x)=
Pluto
gilt jetzt namlich
[[
Hund
(x)]]
I
2
,α
=
true und
[[
Bellen
(x)]]
I
2
,α
=
true
erhalten wir aus I
1
,wenn
Beißen
I
2
=
{
Aibo
,
Rex
,
Rocky
,
Pluto
aber [[
¬
Beißen
(x)]]
I
2
,α
=
false
,da
α(x)=
Pluto
∈
Hund
I
2
und
α(x)=
Pluto
∈
Bellen
I
2
aber auch α(x)=
Pluto
∈
Beißen
I
2
.
Selbsttestaufgabe 3.57 (Wahrheitswerte quantifizierter Formeln)
1. Deuten Sie die folgenden Formeln umgangssprachlich:
•∀
x
∃
y
Großvater
(x, y)
•∃
y
∀
x
Großvater
(x, y)
