Logikbasierte Wissensrepr¨asentation und Inferenz - Methoden Wissensbasierter Systeme - page 53

= true
[[ ∃xG]] I,α = true gdw. es gibt ein a ∈ U I mit [[G]] I,α x/a = true
wobei α x/a : V → U I die Modifikation von α an der Stelle x zu a ist. D.h. α x/a
bildet die Variable x auf a ab und stimmt ansonsten mit α uberein.

[[ ∀ xG]] I,α = true gdw. fur jedes a ∈ U I gilt [[G]] I,α x/a

Jedes Vorkommen einer Variablen x in einer Formel F ist entweder frei oder
gebunden .T tx in F in einer Teilformel der Form xG auf, so ist

dieses Auftreten von x in F ein gebundenes Vorkommen. Tritt dagegen x in einer
Formel ohne einen umgebenden Quantor auf, so ist dieses Auftreten von x ein freies
Auftreten.
Wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass man durch Variablenumbenennun-
gen jede Formel in eine aquivalente Formel uberfuhren kann, in der keine Variable
sowohl gebunden als auch frei auftritt. Ebenso kann man immer erreichen, dass in
einer Formel keine zwei Quantoren dieselbe Variable einfuhren. Wir werden auf sol-
che Umformungen zu sprechen kommen, wenn wir den Begriff der Aquivalenz auch
fur pradikatenlogische Formeln definiert haben (Abschnitt 3.5.4).

∀ xG oder ∃

Definition 3.53 (geschlossene Formel, Allabschluss) Eine Formel F heißt
geschlossen , wenn keine Variable frei in F auftritt. Wenn x 1 ,...,x n die in einer For-
mel F frei auftretenden Variablen sind, dann heißt

∀ x 1 ... ∀ x n F der Allabschluss

von F .

Beispiel 3.54 (Formeln) Sei x eine Variable, a eine Konstante. In den Formeln

(1) P (x) ⇒ Q(x)

(2) ∀ xP(x) ⇒ Q(x)

(3) P (x) ∨ ( ∃ xQ(x))

(4) ∀ x (P (x) ∨ ( ∃ xQ(x)))

(5) P (a) ⇒ Q(a)

tritt die Variable x in (1) nur frei, in (2) und (4) nur gebunden und in (3) sowohl frei
als auch gebunden auf. (2) ist der Allabschluss von (1), und (4) ist der Allabschluss
von (3). (5) ist eine Grundformel, (1) - (4) sind keine Grundformeln.

Hat eine PL1-Signatur Σ 0 nur nullstellige Pradikatensymbole, entspricht die
Definition des Wahrheitswertes einer Formel F in einer Interpretation I genau dem
Wahrheitswert, der ihr als aussagenlogische Formel zugeordnet wurde, und zwar
unabhangig von einer Belegung α, da keine Variablen in den Formeln auftreten
konnen.
Auch der Wahrheitswert einer geschlossenen Formel F in einer Interpretation
I unter einer Belegung α ist vollstandig unabhangig von α,d.h.fur geschlossenes
F gilt fur beliebige α, α :

[[ F ]] I,α =[F ]] I,α
Um den Wahrheitswert einer beliebigen Formel F von einer konkreten Varia-
blenbelegung α unabhangig zu machen, wird festgelegt, dass die in F frei auftre-
tenden Variablen wie allquantifizierte Variablen behandelt werden, d.h. F wird wie
der Allabschluss von F behandelt.