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Dabei bedeutet die letzte Zeile: “Das Paar (
ich
,
mein Lieblingsopa
)ist(daseinzi-
ge) Element der Relation, mit der in der Interpretation I
1
das Pradikatensymbol
Großvater
interpretiert wird”.
Universum U
I
2
= {
ich
,
mein Lieblingsopa
}
I
2
(
Max
) =
mein Lieblingsopa
I
2
(
Moritz
) =
ich
I
2
(
Großvater
)=
}
In der Interpretation I
2
haben wir also dasselbe Universum und dieselbe Relation
wie bei I
1
, nur die Konstanten sind andersherum belegt.
Als ungewohnliche (im Sinne von “der Intuition widersprechende”), aber erlaubte
Moglichkeit hier auch die folgende Interpretation I
3
:
Universum U
I
3
{
(
ich
,
mein Lieblingsopa
)
=
{
ich
}
I
3
(
Max
) =
ich
I
3
(
Moritz
) =
ich
I
3
(
Großvater
)=
{
(
ich
,
ich
)
}
Selbsttestaufgabe 3.42 (Interpretationen in PL1)
Konstruieren Sie zwei
verschiedene Interpretationen der Signatur Σ
1
, die die drei Funktionssymbole
a/0,b/0,
nf
/1 und das Pradikatensymbol
LT
/2enthalt.
3.5.2
Terme und Termauswertung
Im Gegensatz zur Aussagenlogik konnen wir in PL1 Terme bilden. Ein Term ist ein
funktionaler Ausdruck, der mit den Funktionssymbolen einer Signatur wie ublich
gebildet wird und durch Objekte des Universums interpretiert wird.
Definition 3.43 (Terme)
Die Menge Term
Σ
(V )der
Terme
uber einer Signatur
Σ=(
Func
,
Pred
) und einer Menge V von Variablen ist die kleinste Menge, die die
folgenden Elemente gemaß (1) - (3) enthalt:
(1)
x
falls x
∈
V
(2)
c
falls c ∈
Func
und c hat die Stelligkeit 0
(3)
f (t
1
,...,t
n
)
falls f
Func
mit der Stelligkeit n>0
und t
1
,...,t
n
∈
∈
Term
Σ
(V )
Ein
Grundterm
uber Σ ist ein Element aus Term
Σ
(
∅
), d.h. ein Term ohne Variablen.
Term
Σ
=
def
Term
Σ
(
∅
) bezeichnet die Menge der Grundterme.
Notation:
Besonders bei den ublichen mathematischen Funktionssymbolen wird
meist statt der Prafixschreibweise die gewohnte Infixnotation verwendet, also z.B.
t
1
+t
2
anstelle von +(t
1
,t
2
). Variablen werden wir im gesamten Rest dieses Kapitels
immer mit x, y, z, u oder v bezeichnen (evtl. indiziert), wahrend z.B. a, b, c immer
Konstanten bezeichnen.
Da eine Σ-Interpretation zwar den in einem Term auftretenden Funktionssym-
bolen eine Funktion zuordnet, aber nichts uber die evtl. auftretenden (freien) Va-
riablen sagt, fuhren wir den Begriff der Variablenbelegung ein.
