Logikbasierte Wissensrepr¨asentation und Inferenz - Methoden Wissensbasierter Systeme - page 48

3.5.1 Signaturen und Interpretationen

In der Pradikatenlogik 1. Stufe konnen wir nicht nur einfache Aussagen reprasen-
tieren. Die Welten, die wir hier beschreiben konnen, konnen enthalten:

• Objekte, z.B.: Menschen, Zahlen, Farben

• Funktionen auf den Objekten, z.B.: Nachfolger, Leukozytenanzahl der Blut-

probe, ...

• Aussagen (wie in der Aussagenlogik)

• Eigenschaften von Objekten, z.B.: groß, gelb, negativ

• Relationen zwischen den Objekten, z.B.: Großvater von, kleiner als

Eine Signatur Σ der Pradikatenlogik 1. Stufe stellt ein entsprechendes Vokabular
zur Verfugung.

Definition 3.39 (Signatur) Eine (PL1-)Signatur Σ = ( Func , Pred )bestehtaus
einer Menge Func von Funktionssymbolen und einer Menge Pred von Pradikaten-
symbolen. Dabei hat jedes Symbol s 0. Ein

Funktionssymbol mit der Stelligkeit 0 heißt Konstante . Generell setzen wir fur jede
PL1-Signatur voraus, dass es mindestens eine Konstante gibt.

∈ Func ∪ Pred eine feste Stelligkeit ≥

Anmerkung: Im Folgenden verwenden wir haufig die Notation < name > / < arity >
als Bezeichnung fur ein Funktions- oder Pradikatensymbol < name >,wobei< arity >
die Stelligkeit (Anzahl der Argumente) des Symbols angibt, also z.B. Primzahl/1,
Bruder/2, teilerfremd/2.
Eine Σ -Interpretation weist den Namen einer Signatur Σ Bedeutungen uber
einer Menge von Objekten zu:

• Das Universum U ,auch Tragermenge genannt, ist eine beliebige, nichtleere

Menge. Sie enthalt alle Objekte der Interpretation.

Den Funktions- und Pradikatensymbolen in Σ weist eine Interpretation Funktionen
bzw. Relationen uber dem Universum wie folgt zu:

• Nullstellige Funktionssymbole werden durch Objekte oder Individuen der be-

trachteten Welt - d.h. durch Elemente des Universums U - interpretiert.
Wahrend fur jede Konstante einer Signatur eine Interpretation angegeben
werden muss, kann es sein, dass verschiedene Konstanten durch dasselbe Ob-
jekt interpretiert werden. So konnen die beiden Konstanten Max und Moritz
in einer Interpretation zwei verschiedene Personen (d.h. zwei verschiedene Ele-
mente aus U ), in einer anderen aber dieselbe Person (d.h. dasselbe Element
aus U ) bezeichnen.

• Ein- oder mehrstellige Funktionssymbole werden durch Funktionen interpre-

tiert. Das einstellige Funktionssymbol nf konnte etwa durch die Nachfolger-
funktion auf den naturlichen Zahlen interpretiert werden und Leukos durch
eine Funktion, die zu einer Blutprobe deren Leukozytenanzahl liefert.