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Das heißt insbesondere, dass eine Aussagenvariable durch eine Belegung be-
liebig interpretiert werden kann. Die Semantik der komplexeren aussagenlogischen
Formeln ergibt sich dann aus der klassisch-logischen Bedeutung der Junktoren.
Definition 3.27 (Wahrheitswert einer aussagenlogischen Formel)
Sei I ei-
ne aussagenlogische Interpretation fur Σ. Fur eine aussagenlogische Formel A ist
ihr
Wahrheitswert
[[ A]]
I
unter der Interpretation I
gegeben durch die Funktion
[[ ]]
I
:
Formel
(Σ)
→
BOOL
fur die
[[ A]]
I
=
I(A)
falls A eine atomare Formel ist
gilt und die die Junktoren gemaß Definition 3.9 interpretiert.
Beachten Sie, dass mit der obigen Definition die Wahrheitswertefunktion
vollstandig definiert ist und die Begriffe aus Abschnitt 3.3 wie Erfullungsrelation,
Modell, allgemeingultig, logische Folgerung etc. direkt fur die Aussagenlogik zur
Verfugung stehen.
Selbsttestaufgabe 3.28 (erfullbar, allgemeingultig)
Zeigen Sie, dass gilt:
1. A ∧¬A ist unerfullbar.
2. A ∨¬A ist allgemeingultig.
3. A
∨
B ist sowohl erfullbar als auch falsifizierbar.
Selbsttestaufgabe 3.29 (Modell einer Formelmenge)
Konstruieren Sie drei
Formeln uber einer Signatur, welche die Aussagenvariablen P und Q enthalt, so
dass je zwei dieser Formeln gleichzeitig erfullbar sind, alle drei jedoch nicht.
Beispiel 3.30 (Logische Folgerung)
Aus Q
∧
R folgt Q, da offensichtlich jedes
Modell, das Q
∧
R erfullt, auch Q erfullt. Andererseits folgt aus Q
∨
R
nicht
Q,da
ein Modell zwar Q
∨
R, aber gleichzeitig auch
¬
Q erfullen kann.
Eine ubliche Methode zur Definition der Semantik der Aussagenlogik ist die
Verwendung von sog.
Wahrheitstafeln
. So entspricht die in der obigen Definition
angegebene Behandlung der Junktoren genau den Wahrheitstafeln, die wir in Ab-
bildung 3.4 angegeben haben.
Selbsttestaufgabe 3.31 (Wahrheitstafel)
Uberprufen Sie anhand einer Wahr-
heitstafel, ob der folgende Ausdruck allgemeingultig ist:
F
1
:= (p
∧¬
q)
∨
(q
∧¬
r)
∨
(r
∧¬
p)
⇔
p
∨
q
∨
r
Selbsttestaufgabe 3.32 (Haustier 2)
Handelt es sich bei der Vermutung Herrn
Meiers in Selbsttestaufgabe 3.24 um eine logische Folgerung aus seinen vorigen
Uberlegungen? Begrunden Sie Ihre Antwort.
