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In Abschnitt 3.2.4 hatten wir bereits uber die Erfullungsrelation und den Zu-
sammenhang zur logischen Folgerung gesprochen. Die folgende Definition fuhrt den
Begriff der logischen Folgerung fur Formeln und auch fur Formelmengen ein.
Definition 3.14 (klassisch-logische Folgerung) Die Relation
|
= Σ
Formel (Σ)
×
Formel (Σ)
ist definiert durch
F
|
= Σ G gdw. Mod Σ (F )
Mod Σ (G)
wobei F und G Formeln sind. Fur F
= Σ G sagen wir “aus F folgt (logisch) G”
oder auch “aus F folgt semantisch G”. Wir erweitern
|
|
= Σ , indem wir fur F und G
auch Formelmengen zulassen.
)= Int (Σ) gilt, ist eine Formel F offen-
sichtlich genau dann allgemeingultig, wenn sie aus der leeren Menge von Formeln
folgt; statt
Da fur die leere Formelmenge Mod Σ (
∅|
= Σ F schreiben wir dann auch
|
= Σ F . Zur Vereinfachung unserer No-
tation werden wir im Folgenden statt
= schreiben, wenn die betreffende
Signatur aus dem Kontext heraus klar ist; also z. B.
|
= Σ einfach
|
|
= F
gdw.
F
ist allgemeingultig.
Ebenso werden wir den Index Σ in Mod(F) etc. weglassen. Falls F
|
= G nicht gilt,
so schreiben wir dafur F
|
= G.
Mit der Relation
|
=konnen wir nun eine Funktion definieren, die jeder Formel-
menge
F
die Menge aller Formeln zuordnet, die logisch aus
F
folgen.
Definition 3.15 (klassisch-logische Inferenzoperation) Die Funktion
Forme l (Σ)
2 Forme l (Σ)
:
Cn
Cn (
F
):=
{
G
Formel (Σ)
|F|
= G
}
heißt klassisch-logische Inferenzoperation .
Definition 3.16 (deduktiv abgeschlossen, Theorie) Eine Formelmenge
F⊆
Formel (Σ) mit
Cn (
F
)=
F
heißt (deduktiv) abgeschlossen . Formelmengen
F
bzw. ihr deduktiv abgeschlossenes
Pendant Cn (
F
) werden auch als Theorien bezeichnet.
Eine (deduktiv abgeschlossene) Theorie ist daher ein Fixpunkt des Operators Cn .
Fur aussagenlogische Formeln und fur geschlossene PL1-Formeln gilt die fol-
gende fundamentale Beziehung zwischen logischer Folgerung und Implikation, die
es gestattet, die logische Folgerung auf den Begriff der Allgemeingultigkeit zuruck-
zufuhren:
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