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Proposition A.9
Sei
P
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion uber
L
, seien
A, B
∈
Form.
1.
P (A)=P (A
∧
B)+P (A
∧¬
B)
;
2.
P (
¬
A)=1
−
P (A)
;
3.
P (
⊥
)=0
fur jede widerspruchliche Formel
⊥
;
4.
|
= A
⇒
B
impliziert
P (A)
≤
P (B)
;
5.
P (A
∨
B)=P (A)+P (B)
−
P (A
∧
B)
.
Fur die Eigenschaft (P2) in Proposition A.8 ist wichtig, dass die durch A und
B reprasentierten Aussagen sich gegenseitig ausschließen. Demgegenuber gilt Pro-
position A.9 (5) fur beliebige Formeln A und B, schließt aber (P2) mit ein: Sind A
und B exklusiv, so ist A
∧
B
≡⊥
,alsoP (A
∧
B) = 0 wegen Proposition A.9 (3),
und man erhalt (P2).
Die Aussage in Proposition A.9 (4) besagt, dass die Wahrscheinlichkeit einer
Formel B mindestens so groß ist wie die einer Formel A,wennB logisch aus A folgt.
Dem entspricht in der mengentheoretischen Formulierung gerade die Monotonie
einer Wahrscheinlichkeitsfunktion (vgl. Proposition A.7(4)).
Selbsttestaufgabe A.10 (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Beweisen
Sie
die
Aussagen der Proposition A.9.
Statistische Haufigkeitsverteilungen sind spezielle, in der Praxis aber oft auf-
tretende Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Aus ihnen erhalt man daher leicht Wahr-
scheinlichkeitsfunktionen, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel A.11 (Wahrscheinlichkeitsverteilung)
Wir nehmen an, der Zusam-
menhang zwischen einer Krankheit D (=
Diagnose
) und zwei Symptomen S
1
,S
2
sei bei hundert Patienten statistisch erfasst und in der folgenden Haufigkeitsvertei-
lung festgehalten worden:
DS
1
S
2
abs. Haufigkeit
rel. Haufigkeit
00 0
19
0.19
00 1
8
0.08
01 0
11
0.11
01 1
2
0.02
10 0
15
0.15
10 1
14
0.14
11 0
20
0.20
11 1
11
0.11
Dabei liest sich z.B. die dritte Zeile wie folgt: Bei 11 Patienten (also 11 %) wurde
zwar Symptom S
1
,nichtaberSymptomS
2
festgestellt; die Diagnose war negativ. Je-
der Zeile entspricht eine Vollkonjunktion (der dritten Zeile also die Vollkonjunktion
¬
S
2
), dessen Wahrscheinlichkeit durch die zugehorige relative Haufigkeit
gegeben wird:
D
∧
S
1
∧¬
