Wahrscheinlichkeit und Information - Methoden Wissensbasierter Systeme - page 486

Definition A.5 (Gleichverteilung) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die je-
der Vollkonjunktion ω die gleiche Wahrscheinlichkeit P (ω) zuordnet, heißt Gleich-
verteilung und wird mit P 0

bezeichnet. Wegen P (Ω) = 1 und der Gleichung (A.1)

gilt P 0 (ω)= n

fur | Ω | = n.

Definition A.6 (Exklusivitat) Zwei Formeln A, B Form heißen exklusiv (ex-

clusive) , wenn ihre Konjunktion widerspruchlich ist, wenn also A

∈

∧ B ≡⊥ ist.

Je zwei verschiedene Vollkonjunktionen sind exklusiv. Allgemein lassen sich
viele interessante Eigenschaften und Beziehungen von Formeln durch die mit ihnen
assoziierten Mengen von Vollkonjunktionen beschreiben:

Proposition A.7 Zu einer Formel A ∈ Form sei die Menge Ω A wie in der Formel

(A.3) definiert.

1. Zwei Formeln A, B Form sind genau dann exklusiv, wenn die mit ihnen

assoziierten Mengen von Vollkonjunktionen disjunkt sind, d.h.

∈

A, B exklusiv Ω A ∩ Ω B = ∅

gdw.

2. Eine Formel A ist genau dann tautologisch, wenn Ω A =Ω ist.

3. Zwei Formeln A, B ∈ Form sind genau dann logisch aquivalent, wenn die mit
ihnen assoziierten Mengen von Vollkonjunktionen gleich sind, d.h.

A ≡ B gdw. Ω A =Ω B

4. Eine Formel A impliziert genau dann logisch eine Formel B ,wenn Ω A ⊆ Ω B

gilt:

| = A ⇒ B gdw. Ω A ⊆ Ω B

Damit lasst sich eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P uber L wie folgt charakterisie-

ren:

Proposition A.8 Eine Abbildung P : Form → [0, 1] ist genau dann eine Wahr-

scheinlichkeitsfunktion uber L ,wenngilt:

(P0) Sind A und B logisch aquivalente Formeln, A ≡ B ,sogilt P (A)=P (B) .

(P1) P ( )=1 fur jede tautologische Formel .

(P2) Sind A, B ∈ Form zwei exklusive Formeln, so gilt fur ihre Disjunktion

P (A ∨ B)=P (A)+P (B)

Aus diesem Satz lassen sich einige wichtige und grundlegende Eigenschaften
von Wahrscheinlichkeitsfunktionen ableiten: