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In-Depth Information
wird definiert durch
φ(μ
1
,...,μ
n
)(y):=sup
{
min
{
μ
1
(x
1
),...,μ
n
(x
n
)
}|
X
n
und y = φ(x
1
,...,x
n
)
(x
1
,...,x
n
)
∈
}
φ modelliert die vage Aussage “y gehort zum Bild von (μ
1
,...,μ
n
)”. Da-
bei korrespondiert min
zur Konjunktion der Aussagen “x
i
gehort zu μ
i
”, wahrend die Supremumsbildung die Disjunktion uber alle passen-
den (x
1
,...,x
n
)mity = φ(x
1
,...,x
n
)berucksichtigt.
Das Extensionsprinzip ist grundlegend fur die Ubertragung klassischer Kon-
zepte auf Fuzzy-Mengen. Wir werden in Abschnitt 14.3.3 skizzieren, wie mit seiner
Hilfe Fuzzy-Inferenzregeln interpretiert und der
modus ponens
fur solche Regeln
verallgemeinert werden kann.
{
μ
1
(x
1
),...,μ
n
(x
n
)
}
Selbsttestaufgabe 14.27 (Extensionsprinzip)
Wenden Sie das Extensions-
prinzip auf die Abbildung
φ(x):=x
2
φ :
R → R
,
und auf die Fuzzy-Menge μ
∈F
(
R
),
⎧
⎨
x
−
1,
falls 1
≤
x
≤
2
3
−
x,
falls 2 <x
≤
3
μ(x)=
⎩
0,
sonst
an, d.h. berechnen Sie φ(μ).
14.3.2
Possibilitatstheorie
Wir haben Fuzzy-Mengen eingefuhrt als Reprasentationen von Zugehorigkeitsgra-
den, mit denen die Elemente des Universums einem vagen Konzept (z. B.
groß
)
zuzuordnen waren. Eine etwas andere Sichtweise ergibt sich, wenn man μ(x)als
Moglichkeitsgrad
interpretiert, mit dem x
X einem tatsachlich existierenden, aber
unbekannten Wert entspricht. Hierbei geht es also um die vage Beschreibung eines
bestimmten Weltzustandes, uber den wir keine vollstandige Information besitzen. In
diesem Fall nennt man eine (normierte) Fuzzy-Menge eine
Possibilitatsverteilung
.
Ublicherweise bezeichnet man das Universum, uber dem eine Possibilitatsvertei-
lung definiert ist, mit Ω und betrachtet es als eine Menge moglicher Zustande oder
moglicher Welten.
∈
Definition 14.28 (Possibilitatsverteilung)
Eine
Possibilitatsverteilung
uber
dem Universum Ω ist eine Funktion
π :Ω
→
[0, 1]
mit π(ω)=1fur mindestens ein ω
∈
Ω. Die Menge aller Possibilitatsmaße auf Ω
wird mit
Poss
(Ω) bezeichnet.
