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Man definiert also fur zwei Fuzzy-Mengen μ, μ
: X
→
[0, 1] ihren Schnitt und ihre
Vereinigung im Allgemeinen durch
μ
(x)=min
μ(x),μ
(x)
μ
∩
{
}
μ
(x)=max
μ(x),μ
(x)
μ
∪
{
}
Aussagenlogisch betrachtet entspricht die Minimierung der konjunktiven und die
Maximierung der disjunktiven Verknupfung von Aussagen; so lassen sich auch kom-
plexere aussagenlogische Formeln fuzzy-logisch interpretieren (zum Thema
Fuzzy-
Logik
vgl. auch [125]). Fur dieses so definierte Paar von Norm und Conorm gelten
die Distributivgesetze
μ
1
∩
(μ
2
∪
μ
3
)= μ
1
∩
μ
2
)
∪
(μ
1
∩
μ
3
)
μ
1
∪
(μ
2
∩
μ
3
)= μ
1
∪
μ
2
)
∩
(μ
1
∪
μ
3
)
Selbsttestaufgabe 14.24 (t-Norm, t-Conorm)
Es
seien
die
Funktionen
T
min
,T
Luka
,T
prod
:[0, 1]
×
[0, 1]
→
[0, 1] wie folgt definiert:
T
min
(a, b):=min
{
a, b
}
T
Luka
(a, b):=max
{
0,a+ b
−
1
}
(benannt nach J. Lukasiewicz)
T
prod
(a, b):=a
·
b
1. Zeigen Sie, dass T
min
,T
Luka
und T
prod
t-Normen sind.
2. Zeigen Sie, dass den t-Normen aus Teil 1 die folgenden t-Conormen entspre-
chen:
T
min
(a, b)=max
{
a, b
}
T
Luka
(a, b)=min
{
a + b, 1
}
T
prod
(a, b)=a + b
−
ab
Selbsttestaufgabe 14.25 (Distributivgesetze)
Gelten die Distributivgesetze
auch,
Paare (T
Luka
,T
Luka
)
wenn
Schnitt
und
Vereinigung
durch
die
und
(T
prod
,T
prod
) definiert werden, d.h. wenn gilt
μ
)(x):=T (μ(x),μ
(x))
(μ
∩
μ
)(x):=T
∗
(μ(x),μ
(x))
(μ
∪
wobei (T,T
∗
) eines der obigen beiden Paare ist? Begrunden Sie Ihre Antwort jeweils
durch einen Beweis oder durch ein Gegenbeispiel.
Nicht nur mengentheoretische Operationen wie Durchschnitt und Vereinigung
lassen sich auf Fuzzy-Mengen verallgemeinern, auch Abbildungen φ : X
n
→
Y kann
man “fuzzifizieren”. Dies geschieht durch das
Extensionsprinzip
:
Definition 14.26 (Extensionsprinzip)
Es seien X, Y zwei Mengen, und φ :
X
n
→
Y eine Abbildung. Die
Extension von
φ,
φ :(
(X))
n
F
→F
(Y )
