Database Reference
In-Depth Information
von X in das Einheitsintervall. Die Menge X wird auch als Grundmenge oder Uni-
versum bezeichnet. μ heißt normiert ,wenneseinx
X mit μ(x)=1gibt.Die
Menge aller Fuzzy-Mengen einer Menge X wird mit
F
(X)abgekurzt.
Mit Hilfe von Fuzzy-Mengen lassen sich vage linguistische Ausdrucke und gra-
duelle Abstufungen (z. B. die Grauwertstufen eines Rontgenbildes) hervorragend
darstellen. Auch Ungenauigkeiten bei Messergebnissen kann man in einem Fuzzy-
Ansatz berucksichtigen.
Die Normiertheitsbedingung bedeutet, dass es im Universum X mindestens
ein Element mit maximalem Zugehorigkeitsgrad gibt. Ist μ eine normierte Fuzzy-
Menge, so definiert
F μ :2 X
[0, 1],
μ (A):=sup
x∈A
μ(x)(A
X)
eine Kapazitat. Umgekehrt induziert jede Kapazitat F :2 X
[0, 1] mittels μ(x):=
F (
{
x
}
) trivialerweise eine Fuzzy-Menge.
Auf Fuzzy-Mengen werden mittels t-Normen und t-Conormen verallgemeinerte
Schnitt- und Vereinigungsoperatoren definiert:
Definition 14.21 (t-Norm) Eine Abbildung T :[0, 1]
×
[0, 1]
[0, 1] heißt t-
Norm , wenn sie die folgenden Bedingungen erfullt:
1. Assoziativitat: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b),c);
2. Kommutativitat: T (a, b)=T (b, a);
3. Monotonie:
aus a
b folgt T (a, c)
T (b, c)fur beliebiges c
[0, 1];
4. Neutrales Element:
T (a, 1) = a fur alle a
[0, 1].
Aus der Kommutativitat und der Monotonie folgt, dass eine t-Norm monoton
nicht-fallend in beiden Argumenten ist.
Selbsttestaufgabe 14.22 (t-Norm) Zeigen Sie, dass fur jede t-Norm T gilt:
T (a, 0) = 0 fur alle a
[0, 1].
Definition 14.23 (t-Conorm) Eine Abbildung T :[0, 1]
[0, 1] heißt
t-Conorm , wenn sie assoziativ, kommutativ und monoton nicht-fallend ist und 0 als
neutrales Element besitzt, d. h. T (a, 0) = a fur alle a
×
[0, 1]
[0, 1] gilt.
t-Normen und t-Conormen sind zueinander dual: Ist T eine t-Norm, so ist
T (a, b)=1
b) eine t-Conorm und umgekehrt. Die Bezeichnung t-Norm
leitet sich von triangular norm (Dreiecksnorm) ab und resultiert aus der Tatsache,
dass eine t-Norm eine dreiecksahnliche Flache im
T (1
a, 1
R 3 beschreibt (vgl. [207]).
Die gebrauchlichste t-Norm und t-Conorm in der Fuzzy-Theorie sind die Funk-
tionen
T max (a, b)=max
T min (a, b)=min
{
a, b
}
und
{
a, b
}
.
Search WWH ::




Custom Search