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3.3
Eigenschaften klassisch-logischer Systeme
Im Folgenden nehmen wir an, dass ein logisches System mit Signaturen Σ, Formeln
Formel
(Σ), Interpretationen
Int
(Σ) und einer Erfullungsrelation
=
Σ
gegeben ist.
Wir geben einige Definitionen und Eigenschaften an, die fur die klassischen Logiken
gelten, also insbesondere fur die Aussagen- und die Pradikatenlogik.
Unter Pradikatenlogik verstehen wir (wie ublich) die Pradikatenlogik 1. Stufe
(
PL1
,engl.
first order logic, FOL
). Auf diese beiden Logiken wird in den Abschnit-
ten3.4und3.5nochnaher eingegangen. In diesem Abschnitt wollen wir zunachst
eine allgemeine Sicht auf klassisch-logische Systeme vermitteln.
|
3.3.1
Erfullungsrelation und Wahrheitsfunktionalitat
Wie schon erwahnt, sind die klassischen Logiken zweiwertig. Mit
BOOL
=
{
bezeichnen wir die Menge der Wahrheitswerte. Oft werden die Wahr-
heitswerte auch anders dargestellt, z.B.
true
,
false
}
{
W ahr, F alsch
}
oder
{
1, 0
}
.
Definition 3.8 (Wahrheitswertefunktion)
In einer klassischen Logik ist fur je-
de Interpretation I eine
Wahrheitswertefunktion
[[ ]]
I
:
Formel
(Σ)
→
BOOL
definiert. [[F ]]
I
ist der
Wahrheitswert von
F
unter der Interpretation
I.
Diese Funktion interpretiert die ublichen Junktoren
wahrheitsfunktional
,d.h.
jeder Junktor wird durch eine entsprechende Funktion interpretiert, die Wahrheits-
werte auf Wahrheitswerte abbildet. Dabei gelten die folgenden Bedingungen:
Definition 3.9 (klassisch-logische Interpretation)
Die
Wahrheitswertefunk-
tion [[ ]]
I
interpretiert die Junktoren
¬
,
∧
,
∨
,
⇒
,
⇔
klassisch-logisch
(oder:
wahr-
heitsfunktional
), wenn gilt:
true
falls [[F ]]
I
=
false
false
sonst
[[
¬
F ]]
I
=
true
falls [[F
1
]]
I
=
true
und [[F
2
]]
I
=
true
false
sonst
[[ F
1
∧
F
2
]]
I
=
true
falls [[F
1
]]
I
=
true
oder [[F
2
]]
I
=
true
false
sonst
[[ F
1
∨
F
2
]]
I
=
true
falls [[
¬
F
1
]]
I
=
true
oder [[F
2
]]
I
=
true
[[ F
1
⇒ F
2
]]
I
=
false
sonst
true
falls [[F
1
]]
I
=[F
2
]]
I
false
sonst
[[ F
1
⇔
F
2
]]
I
=