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3.3
Eigenschaften klassisch-logischer Systeme
Im Folgenden nehmen wir an, dass ein logisches System mit Signaturen Σ, Formeln
Formel (Σ), Interpretationen Int (Σ) und einer Erfullungsrelation
= Σ gegeben ist.
Wir geben einige Definitionen und Eigenschaften an, die fur die klassischen Logiken
gelten, also insbesondere fur die Aussagen- und die Pradikatenlogik.
Unter Pradikatenlogik verstehen wir (wie ublich) die Pradikatenlogik 1. Stufe
( PL1 ,engl. first order logic, FOL ). Auf diese beiden Logiken wird in den Abschnit-
ten3.4und3.5nochnaher eingegangen. In diesem Abschnitt wollen wir zunachst
eine allgemeine Sicht auf klassisch-logische Systeme vermitteln.
|
3.3.1
Erfullungsrelation und Wahrheitsfunktionalitat
Wie schon erwahnt, sind die klassischen Logiken zweiwertig. Mit BOOL =
{
bezeichnen wir die Menge der Wahrheitswerte. Oft werden die Wahr-
heitswerte auch anders dargestellt, z.B.
true , false
}
{
W ahr, F alsch
}
oder
{
1, 0
}
.
Definition 3.8 (Wahrheitswertefunktion) In einer klassischen Logik ist fur je-
de Interpretation I eine Wahrheitswertefunktion
[[ ]] I : Formel (Σ)
BOOL
definiert. [[F ]] I
ist der Wahrheitswert von F unter der Interpretation I.
Diese Funktion interpretiert die ublichen Junktoren wahrheitsfunktional ,d.h.
jeder Junktor wird durch eine entsprechende Funktion interpretiert, die Wahrheits-
werte auf Wahrheitswerte abbildet. Dabei gelten die folgenden Bedingungen:
Definition 3.9 (klassisch-logische Interpretation) Die
Wahrheitswertefunk-
tion [[ ]] I
interpretiert die Junktoren
¬
,
,
,
,
klassisch-logisch (oder: wahr-
heitsfunktional ), wenn gilt:
true falls [[F ]] I = false
false sonst
[[
¬
F ]] I
=
true falls [[F 1 ]] I = true und [[F 2 ]] I = true
false sonst
[[ F 1
F 2 ]] I
=
true falls [[F 1 ]] I = true oder [[F 2 ]] I = true
false sonst
[[ F 1
F 2 ]] I
=
true
falls [[
¬
F 1 ]] I = true oder [[F 2 ]] I = true
[[ F 1 ⇒ F 2 ]] I
=
false
sonst
true falls [[F 1 ]] I =[F 2 ]] I
false sonst
[[ F 1
F 2 ]] I
=
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