Database Reference
In-Depth Information
Bel
(
∅
)=0=
Pl
(
∅
)
Bel
(Ω)
= 1 =
Pl
(Ω)
Pl
(A)
≥
Bel
(A)
Bel
(A)+
Bel
(
¬
A)
≤
1
Pl
(A)+
Pl
(
¬
A)
≥
1
Dabei kann man sowohl A als auch
¬
A das Glaubensmaß 0 zuweisen:
Bel(A)=Bel(
¬
A)=0 istmoglich!
(14.1)
(14.1) druckt aus, dass man uber A eigentlich uberhaupt nichts weiß, ja viel-
leicht sogar mit dem Problem selbst noch nicht einmal etwas anfangen kann.
Innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie hingegen ist (14.1) nicht moglich, da
P (A)=0P (
¬
A) = 1 erzwingt. Im Falle der Unwissenheit setzt man gewohnlich
P (A)=P (
A)=0.5, um seine Indifferenz zwischen den beiden moglichen Alter-
nativen auszudrucken. Dies ist allerdings nicht ganz unproblematisch. Tatsachlich
ist die angemessene Darstellung von Indifferenz in der Wahrscheinlichkeitstheorie
schon seit ihren Anfangen ein uberaus kontrovers diskutiertes Thema.
Diesem Problem versucht die DS-Theorie daher aus dem Wege zu gehen. Der
tatsachliche (“wahre”) Glauben an A liegt irgendwo im Intervall [Bel(A),Pl(A)],
wobei der Abstand Pl(A)
¬
Bel(A) der beiden Intervall-Enden als ein Maß der
Unwissenheit bzgl. A angesehen wird. Vollstandige Unwissenheit bzgl. des Rahmens
Ω wird durch die sog.
nichtssagende Glaubensfunktion
dargestellt, die wie in Beispiel
14.10 durch das Basismaß m mit m(Ω) = 1 und m(A)=0fur alle A
−
= Ω induziert
wird.
Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind genau diejenigen Glaubensfunktionen, die
mit ihren dualen Plausibilitatsfunktionen ubereinstimmen. Sie werden auch als
Bayessche Glaubensfunktionen
bezeichnet.
Selbsttestaufgabe 14.14 (Wahrscheinlichkeitsfunktionen)
Zeigen Sie:
1. Ist P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω, so wird durch
m(A)=
P (A)wennA =
{
ω
}
,ω
∈
Ω
0
sonst
ein Basismaß definiert, und fur die induzierte Glaubensfunktion
Bel
und die
zugehorige Plausibilitatsfunktion
Pl
gilt:
Bel
=
Pl
= P .
2. Ist eine Glaubensfunktion
Bel
identisch mit ihrer zugehorigen Plausibilitats-
funktion
Pl
,soist
Bel
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
14.2.2
Dempsters Kombinationsregel
Haufig liegt der Fall vor, dass verschiedene Anhaltspunkte, also verschieden ge-
wichtete Evidenzen (man spricht hier auch von
pieces of evidence
oder
bodies of
evidence
) bei der Bewertung einer Hypothese in Betracht gezogen werden mussen,
wie im folgenden Beispiel.
