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Wahrscheinlichkeiten geht auch immer Wissen uber die Population bzw. uber die
Grundgesamtheit betrachteter Merkmale mit ein.
Eine Moglichkeit, sich bei der Modellierung mit Wahrscheinlichkeiten mehr
Raum zu verschaffen, ist die Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsintervallen an-
stelle praziser Werte (vgl. z. B. [172, 63]). Allerdings wird damit das ohnehin schon
komplexe probabilistische Kalkul noch aufwendiger, und in vielen interessanten An-
wendungen erhalt man uninformative (weil zu große) Intervalle als Ergebnis einer
Inferenz.
Eine Alternative ist, das Konzept der Wahrscheinlichkeit selbst zu verallgemei-
nern, um insbesondere die starke Forderung P (A
B)=P (A)+P (B)fur disjunkte
Mengen zu umgehen. Ein naheliegender Ansatz ist dann der folgende:
∪
Definition 14.2 (Kapazitat)
Sei F :2
Ω
→
[0, 1] eine Funktion von der Potenz-
menge einer Menge Ω ins Einheitsintervall. F heißt
(normalisierte) Kapazitat
,wenn
sie die folgenden Bedingungen erfullt:
1.
Normalisierung
:
F (Ω) = 1;
2.
Monotonie
:
Fur alle A, B
⊆
Ω,A
⊆
B, gilt: F (A)
≤
F (B).
Kapazitaten werden in der Literatur auch als
Fuzzy-Maße
bezeichnet (auf die
Beziehungen zur Fuzzy-Logik gehen wir in Abschnitt 14.3 ein). Wahrscheinlichkeits-
funktionen sind auch Kapazitaten, nicht jedoch umgekehrt: Es wird nicht gefordert,
dass Kapazitaten additiv sind. Insbesondere ist bei einer Kapazitat im Allgemeinen
F (A)
=1
−
F (A).
Definition 14.3 (Dualitat)
Zwei reellwertige Funktionen F, G auf 2
Ω
heißen
dual
zueinander, wenn fur jedes A
⊆
Ω gilt
F (A)=1
−
G(A)
und
G(A)=1
−
F (A)
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist offensichtlich dual zu sich selbst.
Statt Wahrscheinlichkeitsintervallen, also Mengen moglicher Wahrscheinlich-
keitswerte, kann man auch Mengen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen betrachten;
sie liefern wichtige Beispiele fur Kapazitaten:
Definition 14.4 (untere/obere Wahrscheinlichkeitsschranke)
Sei Π eine
nichtleere Menge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen uber derselben Menge Ω. Wir
definieren die
untere Wahrscheinlichkeitsschranke
,Π
u
, und die
obere Wahrschein-
lichkeitsschranke
,Π
o
,fur alle A
⊆
Ω durch
Π
u
(A)=inf
{
P (A)
|
P
∈
Π
}
Π
o
(A)=sup
{
P (A)
|
P
∈
Π
}
wobei inf(M ) das Infimum und sup(M ) das Supremum einer Menge M bezeichnet.
