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Wir wahlen folgende Zuordnung:
clq(A)=clq(B)=clq(C)=
C
1
clq(D)=
C
2
clq(E)=
C
3
Die Funktion ψ berechnet sich also zu
ψ(A, B, C)=P (A)P (B
|
A)P (C
|
A)
ψ(B, C, D)=P (D
|
B, C)
ψ(C, E)=P (E
|
C)
und wir erhalten die Potentialdarstellung
P (A, B, C, D, E)=ψ(A, B, C)ψ(B, C, D)ψ(C, E)
die identisch ist mit der Darstellung in Gleichung (13.18).
Selbsttestaufgabe 13.32 (Potentialdarstellung)
Berechnen Sie die Potential-
werte ψ(
C
i
)fur die drei Cliquen in Beispiel 13.31.
Die folgenden (technischen) Satze sind wesentlich zum Verstandnis des
Lauritzen-Spiegelhalter-Algorithmus; sie gelten nicht nur fur Cliquen, sondern all-
gemeiner fur ein System von Teilmengen von V .
Proposition 13.33
Sei
V
eine (endliche) Menge von Aussagenvariablen, und sei
P
eine gemeinsame Verteilung uber
V
.Sei
{
W
i
|
1
≤
i
≤
p
}
eine Menge von Teil-
mengen von
V
.Fur
1
≤
i
≤
p
seien die Mengen
R
i
(Residuum)
und
S
i
(Separator)
wie folgt definiert:
S
i
=
W
i
∩
(
W
1
∪
...
∪
W
i−1
)
(13.20)
R
i
=
W
i
−
S
i
(13.21)
Dann gilt fur
1
≤
i
≤
p
:
P (
W
i
|
S
i
)=P (
R
i
|
S
i
)
(13.22)
Der Beweis dieses Satzes ist eine einfache Anwendung bedingter Wahrscheinlichkei-
ten.
Selbsttestaufgabe 13.34 (bedingte Wahrscheinlichkeiten)
Beweisen
Sie
Proposition 13.33.
Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen bedingten Wahr-
scheinlichkeiten und Potentialdarstellungen:
Proposition 13.35
Sei
V
eine (endliche) Menge von Aussagenvariablen, und sei
P
eine gemeinsame Verteilung uber
V
mit Potentialdarstellung
{
W
1
,...,
W
p
; ψ
}
.
Dann gilt
ψ(
W
p
)
R
p
ψ(
W
p
)
P (
R
p
|
S
p
)=
(13.23)
wobei die Mengen
R
p
,
S
p
wie in Proposition 13.33 definiert sind.
