Database Reference
In-Depth Information
Die Produktdarstellung (13.17) verschafft (hier und im Allgemeinen) einen großen
E
zienzvorteil: Man benotigt nur 11 Wahrscheinlichkeiten, um die 2
5
=32Werte
der Verteilung P (A, B, C, D, E) zu bestimmen.
Selbsttestaufgabe 13.28 (Bayessches Netz)
Berechnen Sie im obigen Beispiel
13.27 die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (abcde),P(abcde) und P (abc).
Selbsttestaufgabe 13.29 (Bayessches Netz)
In Beispiel 13.23 wurde ein DAG
angegeben. Welche (bedingten) Wahrscheinlichkeiten sind notig, um die Verteilung
des zugehorigen Bayes-Netzes zu bestimmen, und wie lautet Formel (13.17) in Pro-
position 13.26 in diesem Fall?
13.3
Inferenz in probabilistischen Netzen
Mittels Produkt- und Potentialdarstellungen wie in den Gleichungen (13.17), (13.13)
und (13.14) lassen sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht nur sehr kompakt an-
geben, sondern die Formeln erweisen sich auch als uberaus wertvoll fur eine e
zien-
te maschinelle Inferenz in probabilistischen Netzen. Die
Methode von Lauritzen und
Spiegelhalter
, die wir im Folgenden vorstellen wollen, setzte in puncto Eleganz und
E
zienz neue Maßstabe und trug entscheidend dazu bei, probabilistischen Systemen
zu einer breiteren Akzeptanz zu verhelfen. Sie nimmt als Ausgangspunkt ein Bayes-
sches Netz, arbeitet aber auf der Triangulierung des zugehorigen moralen Graphen
unter Verwendung eines Cliquenbaumes und stellt allgemein ein Inferenzverfahren
fur triangulierte ungerichtete Netzwerke dar.
13.3.1
Bayes-Netze und Potentialdarstellungen
Ein wichtiges Beispiel einer Potentialdarstellung erhalt man aus der Reprasentati-
onsformel (13.17) bei Bayesschen Netzen:
Proposition 13.30
Sei
B
=
V
,
E
,P
ein Bayessches Netzwerk mit DAG
G
=
V
,
E
G
u
eine Triangulierung des moralen Graphen
G
m
von
G
.Sei
,undseien
{
C
i
|
1
≤
i
≤
p
}
G
u
(s. Anhang B).
die Cliquen von
Fur jedes
V
∈
V
w¨ahleeineClique
clq(V )
∈{
C
i
|
1
≤
i
≤
p
}
so, dass
V
∪
pa
(V )
⊆
clq(V )
gilt (dies ist immer moglich, da durch die Moralisierung von
G
alle Elternknoten eines gemeinsamen Kindknotens miteinander verbunden sind).
Definiere fur
1
≤
i
≤
p
ψ(
C
i
)=
P (V
|
pa
(V ))
(13.19)
V :clq(V )=C
i
Dann ist
{
C
1
,...,
C
p
; ψ
}
eine Potentialdarstellung von
P
.
Beweis:
Die Verteilung P besitzt nach Proposition 13.26 die Darstellung
