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A
B
C
D
Abbildung 13.2
Der Graph
G
zu Beispiel 13.19
p
P (
V
)=K
·
ψ(
W
i
)
(13.13)
i=1
so heißt
{
W
1
,...,
W
p
; ψ
}
eine
Potentialdarstellung von
P .
Markov-Felder besitzen also eine handliche Potentialdarstellung. Ein Problem
ist jedoch die Bestimmung bzw. Interpretation der Potentialfunktionen - wie se-
hen bei einer konkreten Fragestellung die Funktionen ψ
i
in (13.12) aus? Selbst im
folgenden einfachen Beispiel
1
erweist sich dieses Problem als unerwartet schwierig.
Beispiel 13.19 (Infektion)
Wir betrachten eine aus vier Personen A, B, C, D be-
stehende Gruppe, von denen jeder nur mit genau zwei der drei anderen direkten
Kontakt hat, und zwar in der in Abbildung 13.2 symbolisierten Weise.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit einer Infektion mit einer Krankheit, die nur
durch direkten Kontakt ubertragen werden kann, innerhalb dieser Gruppe bestim-
men. Fur jede der Personen interpretieren wir den entsprechenden Buchstaben daher
als binare Aussagenvariable mit den Auspragungen
x (x)
ersonX hat sich (nicht) infiziert.
Der Graph
G
in der Abbildung 13.2 besitzt vier Cliquen:
C
1
=
{
A, B
}
,
C
2
=
{
A, C
}
,
C
3
=
{
B, D
}
,
C
4
=
{
C, D
}
Ein Markov-Feld P zu
G
ist also von der Form
P (A, B, C, D)=K
·
ψ
1
(A, B)ψ
2
(A, C)ψ
3
(B, D)ψ
4
(C, D)
mit passenden Funktionen ψ
1
,ψ
2
,ψ
3
,ψ
4
. Als passablen Ansatz konnten die ψ
i
die
Moglichkeit einer gegenseitigen Ansteckung innerhalb des entsprechenden Paares
reprasentieren, etwa in der Art
⎧
⎨
α
i
, wenn X und Y entweder beide infiziert oder
beide nicht infiziert sind
β
i
, wenn genau einer von X und Y infiziert ist
ψ
i
(X, Y )=
⎩
1
Dieses Beispiel ist angelehnt an [175].
