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ABDP(ω)
ABDP(ω)
000 .7
100 .01
001 0
101 0
010 0
110 0
011 .09
111 .2
Es ist P (b
d)=P ( d
b) = 1, wenn beide Aussagen entweder wahr oder falsch sind,
|
|
und P (b
d)=P ( d
b) = 0 sonst. Damit rechnet man leicht nach, dass A
|
|
P
B
|
D
und A
B gelten - wenn man die Auspragung einer der Variablen B oder D
kennt, vermittelt die andere keine zusatzliche Information mehr. Eine Anwendung
der Schnitteigenschaft wurde aber nun implizieren, dass die Mengen
P
D
|
{
A
}
und
{
B, D
}
voneinander unabhangig sind:
{
A
}
{
B, D
}|∅
; das gilt aber wegen
P
P (abd)=0.2,
P(a)P (bd)=0.21
·
0.29 = 0.0609
und daher P (abd)
= P (a)P (bd) nicht. Dies deckt sich auch mit unserer Intuition,
da die Entscheidung fur einen Ausflug in hohem Maße vom Wetter bestimmt wird.
Pearl und Paz ([175], S. 88) vermuteten sogar, dass die probabilistische beding-
te Unabhangigkeit durch die Eigenschaften (13.1) - (13.5) charakterisiert werden
konnte. Diese Vermutung wurde jedoch spater von Studeny [226] widerlegt.
13.1.2
Markov-Eigenschaften und Markov-Graphen
Idealerweise mochte man probabilistische bedingte Unabhangigkeit aquivalent durch
graphische Separation reprasentieren:
A
P
B
|
C
⇔
A
B
|
C
G
Man macht sich jedoch leicht klar, dass dies nicht moglich ist, da die Eigenschaft
der graphischen Separation ausdrucksstarker ist als die der bedingten Unabhangig-
keit. Eine graphisch separierende Knotenmenge kann man z. B. beliebig vergroßern,
wahrend die bedingte Unabhangigkeit von Variablen bei Berucksichtigung neuer
Variablen verloren gehen kann.
Definition 13.4 (Abhangigkeitsgraph, Unabhangigkeitsgraph)
Sei
ein
(ungerichteter) Graph mit Knotenmenge
V
,seiP eine Wahrscheinlichkeitsvertei-
lung uber
V
.
G
•G
heißt
Abhangigkeitsgraph (dependency map, D-map) zu
P , wenn die beding-
ten Unabhangigkeiten in P durch
G
reprasentiert werden:
A
P
B
|
C
impliziert
A
B
|
C
(13.6)
G
•G
heißt
Unabhangigkeitsgraph (independence map, I-map) zu
P ,wenngra-
phisch separierte Variablenmengen auch probabilistisch bedingt unabhangig
sind:
