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Diese Eigenschaften sind einleuchtend und leicht anhand der Abbildung 13.1
nachzuvollziehen. Offenbar ist
symmetrisch (13.1): Wenn
CA
und
B
separiert,
so separiert es naturlich auch
B
und
A
. Zerlegbarkeit (13.2) bedeutet, dass, wenn
CA
von einer Menge
E
=
B
∪
D
separiert, so separiert es
A
auch von jeder
Teilmenge von
E
. Mit Hilfe der schwachen Vereinigung (13.3) kann die separierende
Menge
C
durch Teile der separierten Mengen vergroßert werden. Umgekehrt nennt
die Kontraktion (13.4) Bedingungen, wann man eine separierende Menge verkleinern
kann. Auch durch Anwendung des Schnittes (13.5) lasst sich die separierende Menge
verkleinern, d. h. verbessern: Kann
A
auf zwei verschiedene Arten vom Rest der
Menge
F
=
B
G
∪
C
∪
D
separiert werden (namlich durch die Mengen
F
1
=
C
∪
B
und
F
2
=
C
∪
D
), so kann
A
durch den Schnitt dieser Mengen
F
1
∩
F
2
=
C
vom
Rest von
F
separiert werden.
Graphische Separation bietet sich an als ein adaquates Mittel, um indirekte
Abhangigkeit - oder bedingte Unabhangigkeit - von Variablenmengen zu visuali-
sieren. Sind die Variablen in
A
von denen in
B
unabhangig, wenn man die Werte
der Variablen in
C
kennt, so mochte man dies in
C
ausdrucken.
Das wahrscheinlichkeitstheoretische Konzept der bedingten Unabhangigkeit
(siehe Definition A.32 auf S. 497) definiert die Relation
G
durch
A
B
|
G
P
durch
A
P
B
|
C
gdw.
P (
A
,
B
|
C
)=P (
A
|
C
)
·
P (
B
|
C
)
bzw.
C
)
wobei P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Bedingte Unabhangigkeit und gra-
phentheoretische Separation passen tatsachlich gut zusammen. Auch die Relation
A
P
B
|
C
gdw.
P (
A
|
C
,
B
)=P (
A
|
P
erfullt alle obigen Eigenschaften (13.1) - (13.5) (beim Schnitt muss die zugehori-
ge Verteilung P allerdings strikt positiv sein, d.h. P (ω) > 0fur alle ω
∈
Ω).
Selbsttestaufgabe 13.2 (Eigenschaften der bedingten Unabhangigkeit)
Sei P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung uber
V
.ZeigenSie:
1.
P
erfullt die Eigenschaften der Symmetrie (13.1), der Zerlegbarkeit (13.2),
der schwachen Vereinigung (13.3) und der Kontraktion (13.4).
2. Ist P strikt positiv, d. h. P (ω) > 0fur alle Elementarereignisse ω ∈ Ω, so
erfullt
P
auch die Schnitteigenschaft (13.5).
Die Voraussetzung der strikten Positivitat von P ist fur den Nachweis der
Schnitteigenschaft notwendig, wie das folgende Beispiel zeigt:
Beispiel 13.3 (Ausflug)
In diesem Beispiel ist die trennende Menge
C
leer,
A
,
B
und
D
bestehen jeweils aus einer Aussage(nvariablen):
A Wir machen einen Ausflug.
B Das Wetter ist schon.
D Es ist warm und sonnig.
B und D werden als gleichwertig in ihrer Bedeutung angesehen, was die folgende
Verteilung P widerspiegelt:
