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P
AF
∪P
cf
lassen sich nun auch zulassige (
adm
),
vollstandige (
comp
) und stabile (
stable
) Extensionen berechnen; wir geben die ein-
zelnen allgemeinen Teilprogramme dazu an:
Unter Verwendung von
P
adm
=
P
cf
∪{
defeated
(x)
in
(y),
attack
(y, x).
not defended
(x)
←
←
attack
(y, x),
not defeated
(y).
←
in
(x),
not defended
(x).
}
P
comp
= P
adm
∪{←
out
(x),
not not defended
(x).}
P
stable
=
P
cf
∪{
defeated
(x)
←
in
(y),
attack
(y, x).
←
out
(x),
not defeated
(x).
}
Grundsatzlich sind Argumente, die von
in
-Argumenten angegriffen werden, (erfolg-
reich) geschlagen. Beachten Sie dabei, dass die
in
- und
out
-Label vom Programm
P
cf
zunachst mehr oder weniger zufallig verteilt werden; es wird nur ausgeschlossen,
dass sich zwei
in
-Argumente angreifen. Fur die zulassigen Extensionen kommt es
nun hauptsachlich auf die Verteidigung an, jedes Element einer zulassigen Extensi-
on muss auch von der Extension (also von den
in
-Argumenten) verteidigt werden.
Dazu mussen alle Angreifer wiederum angegriffen werden. Hier wird das implizit ne-
gierte Atom
not defended
(x) benutzt, weil eine fehlende Verteidigung schon durch
den Angriff eines einzigen (ungeschlagenen) Angreifers festgestellt werden kann.
Durch den letzten Constraint in
P
adm
wird sichergestellt, dass alle Argumente der
Extension verteidigt werden.
P
stable
unterscheiden sich durch die Con-
straints bzgl. der Kriterien fur die
out
-Elemente: In
P
comp
und
P
comp
kann ein Argument nicht
out
sein, wenn man annehmen kann, dass es verteidigt wird, wahrend
P
stable
dafur
sorgt, dass Argumente, fur die man keinen erfolgreichen Angriff findet, nicht
out
sein konnen (also in der Extension sein mussen).
Die folgende Proposition stellt sicher, dass das Gewunschte von den Program-
men fur ein abstraktes Argumentationssystem geleistet wird:
Proposition 10.106
Sei
AF
=(
A
,
→
)
ein abstraktes Argumentationssystem.
Dann gelten die folgenden Beziehungen:
Adm
(
AF
)
=
{
Ext
(S)
|
S
ist Antwortmenge von
P
AF
∪P
adm
}
Comp
(
AF
)
=
{
Ext
(S)
|
S
ist Antwortmenge von
P
AF
∪P
comp
}
Stab
(
AF
)
=
{
Ext
(S)
|
S
ist Antwortmenge von
P
AF
∪P
stable
}
Beweis:
Wie im Beweis von Proposition 10.105 machen wir uns die zu den jeweili-
gen Programmen gehorigen Antwortmengen klar und verdeutlichen die Filterungs-
funktion der auftretenden Constraints; wir benutzen dabei die dort eingefuhrten
Notationen
).
Die Antwortmengen von
F
AF
und IO(
E
P
AF
∪P
adm
sind genau die zu zulassigen Extensionen
E
gehorigen Literalmengen
S =
F
AF
∪
IO
(
E
)
+
)
+
+
∪{
defeated
(A)
|
A
∈E
}∪{
not defended
(A)
|
A
∈
(
A\E
}
.