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not defended
(x):x hat keine Verteidiger in der Extension, d.h., x wird von
einem Argument angegriffen, das von keinem Argument
der Extension angegriffen wird
Um aus den Antwortmengen die Extensionen herauszufiltern, werden diejenigen
Argumente A selektiert, fur die
in
(A) in der Antwortmenge liegt. Genauer definieren
wir zu einer Menge S von Literalen uber den obigen Pradikaten die zugehorige
Extension durch
Ext
(S)=
{
A
∈A|
in
(A)
∈
S
}
.
Damit stehen uns die notigen Ausdrucke zur Verfugung, um Extensionen der zulassi-
gen, stabilen und vollstandigen Semantik und außerdem konfliktfreie Mengen von
Argumenten berechnen zu lassen.
Ein abstraktes Argumentationssystem
AF
=(
A
,
→
)lasst sich zunachst durch
das Programm
P
AF
beschreiben:
P
AF
=
{
arg
(A).
|
A
∈A}∪{
attack
(A, B).
|
A, B
∈A
,A
→
B
}
Mit dem erweiterten logischen Programm
P
AF
∪P
cf
lassen sich alle konfliktfreien
Teilmengen von Argumenten in
A
bestimmen, wobei
P
cf
gegeben ist durch:
P
cf
=
{
in
(x)
not out
(x),
arg
(x).
out
(x) ←
not in
(x),
arg
(x).
←
in
(x),
in
(y),
attack
(x, y).}
←
Dabei erzeugen die ersten beiden Regeln im Prinzip alle Teilmengen, wahrend der
Constraint in der dritten Zeile diejenigen mit Konflikten eliminiert. Insbesondere
bekommt jedes Argument genau eines der Labels
in
oder
out
und ist demnach in
der betrachteten Extension oder nicht.
Proposition 10.105
Zu einem abstrakten Argumentationssystem
AF
=(
A
,
→
)
be-
rechnet
P
AF
∪P
cf
genau alle konfliktfreien Teilmengen von Argumenten: Zu jeder
Antwortmenge
S
von
P
AF
∪P
cf
liefert Ext
(S)
eine konfliktfreie Menge von Argu-
menten in
AF
, und umgekehrt lasst sich zu jeder konfliktfreien Menge
E⊆A
von
Argumenten eine Antwortmenge
S
von
P
AF
∪P
cf
finden mit
E
=
Ext
(S)
.
Beweis:
Das Programm
P
AF
∪P
cf
ist ubersichtlich aufgebaut, seine Antwortmengen
sind genau die folgenden, zu konfliktfreien Extensionen
E
gehorigen Literalmengen
S =
F
AF
∪
IO(
E
). Dabei enthalt
F
AF
die zu den Fakten aus
P
AF
gehorigen Atome,
d.h.
F
AF
=
{
arg
(A)
|
A
∈A}∪{
attack
(A, B)
|
A, B
∈A
,A
→
B
}
,
und
IO
(
E
) bezeichnet die zu
E
gehorige Aufteilung der Argumente aus
A
in
in
- und
out
-Argumente, also
IO
(E)={
in
(A) | A ∈E}∪{
out
(A) | A ∈E}.
Der Constraint in
P
cf
filtert dabei genau die konfliktfreien Extension heraus.
