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Definition 10.83 (
arg
,
flat
)
Sei T =(W, Δ) eine Default-Theorie und AS(T )=
(
A
T
,
→
). Sei
F
eine deduktiv abgeschlossene Formelmenge und sei
S
eine Menge
vonArgumentenausAS(T ). Dann definieren
arg
(
F
)=
{
(K, F )
∈A
T
|
fur alle k
∈
K ist
F∪{
k
}
konsistent
}
flat
(
S
)=
{
F
|
es gibt ein K mit (K, F )
∈S}
die mit
F
vertraglichen Argumente
arg
(
F
) und die aus
S
gewonnenen Schlussfol-
gerungen
flat
(
S
).
Mit den Funktionen
arg
und
flat
lassen sich nun die Extensionen einer Default-
Theorie charakterisieren.
Proposition 10.84
Sei
T
= W, Δ)
eine
Default-Theorie.
E
ist
eine
(Default-)Extension von
T
genau dann, wenn
E
=
flat
(
arg
(
E
))
.
Diese Beziehung kann man sich informell folgendermaßen klarmachen: Nach
Konstruktion gilt
arg
(
E
)=
{
(K, F )
∈A
T
|
fur alle k
∈
K ist
¬
k/
∈E}
.Wennfur
alle k
∈
K auch
¬
k/
∈E
gilt, sind alle Defaults zur Ableitung von F anwendbar,
und die Menge
flat
(
arg
(
enthalt alle
Schlussfolgerungen, die man deduktiv aus W und zulassiger Default-Anwendung
bzgl.
E
)) =
{
F
|
es gibt ein K mit (K, F )
∈
arg
(
E
)
}
E
ziehen kann. Dies entspricht aber genau den Anforderungen, die
E
als Ex-
tension erfullen muss.
Reiter'sche Extensionen von T lassen sich also als
Projektionen
von Argumen-
ten aus AS(T ) auffassen.
Beispiel 10.85 (Fortsetzung Tweety)
Sei T =(W, Δ) und
AS
(T )=(
A
T
,
→
)
wie in Beispiel 10.81.
E
=
Cn
(P, B,
¬
F ) ist eine Default-Extension von T .Die
Menge
arg
(
und weitere Argumente, die
durch klassische Ableitungen gebildet werden konnen, und es gilt
flat
(
arg
(
E
)enthalt
{
(
∅
,P), (
∅
,B), (
{¬
SP
}
,
¬
F )
}
E
)) =
Cn
(P, B,
¬
F )=
E
.
Genau genommen entsprechen die Extensionen von T den stabilen Extensionen
von AS(T ):
Theorem 10.86 ([57])
Sei
E
eine (Default-)Extension einer Default-Theorie
T
und
S
eine stabile Extension von
AS(T )
.Danngilt:
•
arg
(
E
)
ist eine stabile Extension von
AS(T )
.
•
flat
(
S
)
ist eine Extension von
T
.
Beispiel 10.87 (Fortsetzung Tweety)
Mit den Bezeichnungen aus Beispiel
10.85 enthalt AS(T )dieArgumente(
{
F
}
,F), (
{
F,
¬
SP
}
,
⊥
), die Argumente in
arg
(
) sowie weitere Argumente, die durch klassische Ableitungen gebildet werden
konnen. Die Argumente ({F },F), ({F, ¬SP}, ⊥) sind nicht in
arg
(E)enthalten,
werden aber wegen ({¬SP}, ¬F ) → ({F },F) und ({¬SP}, ¬F ) → ({F, ¬SP}, ⊥)
von
arg
(
E
E
) angegriffen, daher ist
arg
(
E
) stabil.
