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K heißt dann ein
Support von
F
bzgl.
T und enthalt die Menge aller Annahmen,
auf die sich die Ableitung von F stutzt.
Zu der Default-Theorie T =(W, Δ) definieren wir ein passendes Argumenta-
tionssystem
AS
(T )=(
A
T
,
→
) wie folgt:
A
T
=
{
(K, F )
|
F ist eine Formel und
K
⊆
Just
(Δ) ist ein Support fur F bzgl. T
}
(K
1
,F
1
) → (K
2
,F
2
)gdw.¬F
1
∈ K
2
Beispiel 10.81 (Tweety)
Sei T = T
tweety
=(W, Δ) die Default-Theorie mit W =
{
B : F
F
und δ
2
=
P : ¬SP
¬F
,wobeidieAtome
P, B, F und SP die Pradikate
Penguin, Bird, Fly
und
SuperPenguin
bezeichnen.
Der Prozessbaum zu T sieht dann wie folgt aus (beachten Sie, dass
Cn
(W )=
Cn
(
P, P
⇒
B
}
und Δ =
{
δ
1
,δ
2
}
mit δ
1
=
{
P, B
}
) ist):
Cn(
{
P, B
}
)
∅
δ
1
δ
2
Cn(
{
P, B, F
}
)
{¬
F
}
Cn(
{
P, B,
¬
F
}
)
{
SP
}
geschlossen & erfolgreich
δ
2
Cn({P, B, F, ¬F })
{¬F,
SP
}
Fehlschlag
Es ist
Just
(Δ) =
{
F,
¬
SP
}
und fur
AS
(T )=(
A
T
,
→
) gilt:
•
(
{
F
}
,F)
∈A
T
, da aufgrund der Folge von Formeln P, P
⇒
B, B, F mit
F = cons(δ
1
), pre(δ
1
)=B und
just
(δ
1
)=
{
F
}
die Menge
{
F
}
ein Support
von F bzgl. T ist.
•
(
{¬
SP
}
,
¬
F )
∈A
T
, da aufgrund der Folge von Formeln P,
¬
F mit
¬
F =
cons(δ
2
), pre(δ
2
)=P und
just
(δ
2
)=
{¬
SP
}
die Menge
{¬
SP
}
ein Support
von
¬
F bzgl. T ist.
Theorem 10.82 (Support-Mengen zulassiger Extensionen)
Sei
T =(W, Δ)
eine Default-Theorie,
S
eine zulassige Extension in
AS(T )=(
A
T
,
→
)
und
H =
{
K
|
(K, F )
∈S}⊆
Just
(Δ)
die Vereinigung aller Support-Mengen von
S
.Dann
lasst sich aus
T
und
H
kein Widerspruch ableiten.
Beweis:
Wir machen die Widerspruchsannahme, dass sich aus T und H ein Wi-
derspruch ableiten lasst. Dann ist fur alle Formeln F das Paar (H, F )
∈A
T
.
Sei (K, F )
∈S
mit K
=
∅
, und sei G
∈
K. Dann gilt (H,
¬
G)
→
(K, F ).
zulassig ist, muss es (K
,F
)
mit (K
,F
)
Da
S
∈S
→
(H,
¬
G) geben; daraus
F
∈
H. Daher gibt es (K
,F
)
F
∈
K
. Damit gilt aber
folgt
¬
∈S
mit
¬
(K
,F
)
(K
,F
), im Widerspruch zur Konfliktfreiheit von
→
S
.
