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Umgekehrt setzen wir nun voraus, dass E =
Form
eine inkonsistente Extension
von T ist. Nach Theorem 8.16 gibt es einen erfolgreichen und geschlossenen Prozess
ΠvonT mit E =
In
(Π). Da Π erfolgreich ist, gilt
∩
Out
(Π),
Out
(Π) ist also leer. Dann muss Π der leere Prozess sein, Π = (), da wir
fur Defaults vorausgesetzt haben, dass sie keine leeren Defaultbegrundungen haben
(s. Definition 8.1). Folglich ist
Form
= E =
In
(()) =
Cn
(W ). Dies ist aber nur
moglich, wenn W inkonsistent ist.
∅
=
In
(Π)
∩
Out
(Π) =
Form
Der obige Beweis zeigt noch mehr:
Folgerung aus Proposition 8.26:
Hat eine Default-Theorie
T
eine inkonsistente
Extension
E
,soist
E
die einzige Extension von
T
.
Wenigstens ist in diesem Fall die Frage der Anzahl vorhandener Extensionen
eindeutig geklart. In unseren Beispielen tauchten mehrfache Extensionen immer
dann auf, wenn es in Konflikt stehende Defaults in der Default-Menge gab. Das
nachste Theorem zeigt, dass solche Konflikte notwendig fur das Entstehen unter-
schiedlicher Extensionen sind.
Theorem 8.27
Sei
T =(W, Δ)
eine Default-Theorie, und sei die Menge
ϕ : ψ
1
,...,ψ
n
χ
W
∪{
ψ
1
∧
...
∧
ψ
n
∧
χ
|
∈
Δ
}
(klassisch) konsistent. Dann besitzt
T
genau eine Extension.
Fur den Beweis dieses Theorems verweisen wir auf [4], S. 43f.
Bisher stand die Bestimmung von Extensionen zu einer
gegebenen
Default-
Theorie im Mittelpunkt. Damit ruckte die Nichtmonotonie an den Rand, denn diese
zeigt sich erst bei einer
Veranderung
der zugrunde liegenden Theorie. Die folgenden
Beispiele werden zeigen, dass sich bei einer Erweiterung einer Default-Theorie An-
zahl und Aussehen von Extensionen drastisch und unvorhersehbar andern konnen.
Beispiel 8.28 (Erweiterung der Default-Menge einer Default-Theorie)
Sei T =(W, Δ) die Default-Theorie mit W =
=
: a
a
∅
und Δ =
{
δ
0
}
. T besitzt
genau eine Extension, namlich E =
Cn
(
{
a
}
). Wir erweitern nun Δ auf vier
verschiedene Weisen:
δ
0
,δ
1
=
: b
¬b
1. Sei Δ
1
=
{
}
. T
1
=(W, Δ
1
) hat keine Extensionen.
b : c
c
2. Sei Δ
2
=
{
δ
0
,δ
2
=
}
. T
2
=(W, Δ
2
) hat immer noch E als einzige Exten-
sion.
=
: ¬a
¬a
3. Sei Δ
3
=
{
δ
0
,δ
3
}
. T
3
=(W, Δ
3
) hat zwei Extensionen, namlich E
und
Cn
(
{¬
a
}
).
a : b
b
4. Sei Δ
4
=
{
δ
0
,δ
4
=
}
. T
4
=(W, Δ
4
) besitzt die Extension
Cn
(
{
a, b
}
), die
E enthalt.
