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Zur Bestimmung der Mengen
In
(Π) und
Out
(Π) ist die Reihenfolge der
Defaults in Π unerheblich. Fur die sukzessive Anwendung von Defaults spielt die
Reihenfolge jedoch eine große Rolle.
Betrachten wir Π
2
=(δ
2
,δ
1
) im obigen Beispiel. Vor der Anwendung von
Defaults - also fur Π = () - ist
In
(()) =
Cn
(W )=
Cn
(
) die aktuelle Wis-
sensbasis. Auf diese kann δ
2
, der erste Default von Π
2
, nicht angewendet werden,
da b/
{
a
}
∈
Cn
(
{
a
}
) (vgl. Definition 8.5). Π
2
ist also in dieser Reihenfolge gar nicht
anwendbar.
Anders verhalt es sich mit Π
1
=(δ
1
): Hier ist a
∈
Cn
(
{
a
}
) und b/
∈
Cn
(
{
a
}
),
δ
1
kann also auf
In
(()) =
Cn
(W )=
Cn
(
{
a
}
) angewendet werden. Solche Default-
Folgen wollen wir
Prozesse
nennen.
Definition 8.13 (Prozess)
Eine (evtl. leere) Default-Folge Π = (δ
0
,δ
1
,...)heißt
ein
Prozess
der Default-Theorie T =(W, Δ), wenn jedes Folgenelement δ
k
von Π
auf
In
(Π[k]) angewendet werden kann.
Beachten Sie, dass eine Default-Folge Π = (δ
0
,δ
1
,...) mit dem 0-ten Default
δ
0
beginnt, δ
k
also bereits der (k + 1)-te Default der Folge ist. Insbesondere muss
bei einem Prozess der erste Default δ
0
auf
In
(Π[0]) =
Cn
(W ) anwendbar sein.
Selbsttestaufgabe 8.14 (Prozess)
Ist Π
3
=(δ
1
,δ
2
) ein Prozess? Begrunden Sie
Ihre Antwort.
Definition 8.15 (erfolgreiche, fehlgeschlagene, geschlossene Prozesse)
Sei Π ein Prozess einer Default-Theorie T =(W, Δ). Π wird
erfolgreich
genannt,
wenn
In
(Π)
; anderenfalls ist Π
fehlgeschlagen
.
Πheißt
geschlossen
, wenn jedes δ
∩
Out
(Π) =
∅
∈
Δ, das auf
In
(Π) angewendet werden kann,
auch in Π vorkommt.
Ein erfolgreicher Prozess zeigt an, dass - im intuitiven Sinne - bei der sukzessi-
ven Anwendung der Defaults “nichts schief geht”: Keine Formel
ψ der
Out
-Menge
wurde in die aktuelle Wissensbasis, also die
In
-Menge, aufgenommen. Die Annahme
der Begrundungen der angewandten Defaults hat sich also als konsistent erwiesen.
Die Eigenschaft der Geschlossenheit eines Prozesses zielt auf die Forderung ab,
dass Extensionen gegenuber Default-Anwendungen abgeschlossen sein sollen.
Mit Hilfe von Prozessen lasst sich nun der zentrale Begriff einer Extension in
operationaler Weise charakterisieren:
¬
Theorem 8.16
Eine Formelmenge
E
ist genau dann eine Extension einer Default-
Theorie
T
, wenn es einen geschlossenen und erfolgreichen Prozess von
T
mit
E =
In
(Π)
gibt.
Bevor wir diesen Satz beweisen, wollen wir anhand eines kleinen Beispiels die
obigen Definitionen illustrieren.
Beispiel 8.17 (erfolgreiche und geschlossene Prozesse; Extension)
T
sei
die Default-Theorie T =(W, Δ) mit W =
{
a
}
und