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Der Fall K = F beschreibt die normale Anwendbarkeit eines Defaults (vgl.
Definition 8.5).
Zunachst werden nun die obigen Forderungen durch einen Operator Λ
T
umge-
setzt, der zusatzlich noch den Aspekt der Minimalitat berucksichtigt:
Definition 8.7 (Operator
Λ
T
)
Es sei T =(W, Δ) eine Default-Theorie. Fur jede
Menge geschlossener Formeln S sei Λ
T
(S) die kleinste Formelmenge F ,diedie
folgenden drei Bedingungen erfullt:
1. W
⊆
F ;
2.
Cn
(F )=F ;
ϕ : ψ
1
,...,ψ
n
χ
3. Ist
ein Default aus Δ, der auf F bzgl. S anwendbar ist, dann
ist auch χ
∈
F .
Λ
T
(S) ist also die kleinste deduktiv abgeschlossene Formelmenge, die die Menge
der Fakten W enthalt und die unter Default-Anwendung bzgl. des Kontextes S
abgeschlossen ist.
Definition 8.8 (Extension)
Eine Menge geschlossener Formeln E heißt
Extensi-
on einer Default-Theorie
T =(W, Δ), wenn gilt
Λ
T
(E)=E
wenn also E ein
Fixpunkt
des Operators Λ
T
ist.
Dies ist die originale Definition eines Defaults, so wie man sie bei Reiter [191]
und ublicherweise in der Literatur findet. Sie ist jedoch
nicht konstruktiv
,daschon
in der Definition des Operators Λ
T
die Anwendbarkeit des Defaults vor dem Hin-
tergrund einer zunachst nicht bekannten Menge Λ
T
(S)gepruft werden muss.
Beispiel 8.9
Wir betrachten die Default-Theorie
Wassertier
:
Fisch
Fisch
T =(
{
Wassertier
}
,
{
}
)
Sie besitzt, wie erwartet und wie man leicht anhand der obigen Definitionen nach-
pruft,
E =
Cn
(
{
Wassertier
,
Fisch
}
)
als Extension. Die Menge
E
=
Cn
(
{
Wassertier
,
¬
Fisch
}
)
hingegen ist keine Extension, obwohl sie alle drei Bedingungen der Definition 8.7
erfullt und sogar minimal mit dieser Eigenschaft ist (
¬
Fisch
ist notwendig, um den
Default zu blockieren). Doch es ist
Λ
T
(E
)=
Cn
(
= E
{
Wassertier
}
)
d.h. E
ist kein Fixpunkt des Operators Λ
T
. Hier werden die Unterschiede zwischen
Kontext, Faktenmenge und Extension deutlich.
