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Bei aller angestrebten Praxisnahe werden wir jedoch nicht umhin kommen,
Dinge sehr formal zu beschreiben und auch Beweise zu fuhren. Denn wenn man
mittlerweile auch schon verstanden hat, worum es geht, und Menschen ohnehin ein
sehr gutes, intuitives Gefuhl fur nichtmonotone Sichtweisen haben, so besteht doch
der einzige Weg, einer Maschine nichtmonotones Schließen beizubringen, darin, die-
ses korrekt zu formalisieren. Und wie ublich gibt es auch hier nicht
die
omnipotente
nichtmonotone Logik, sondern eine Fulle von Varianten, deren Eigenheiten man ken-
nen und verstehen muss, um sie sinnvoll und nutzbringend einzusetzen. Schließlich
wird man sich auch nur dann als KI-Experte im Bereich wissensbasierter Systeme
(sowohl in der Theorie als auch bei Implementationen) behaupten konnen, wenn
man in der Lage ist, neue Probleme mit (bekannten) Methoden anzugehen und
Modifikationen durchzufuhren. Dazu ist es jedoch notwendig, fundamentale theore-
tische Zusammenhange zu kennen.
7.2
Monotone vs. nichtmonotone Logik
In Kapitel 3 haben wir die beiden wichtigsten Vertreter der
monotonen
(oder auch
klassischen
) Logiken kennengelernt, namlich die Aussagen- und die Pradikatenlogik.
Wir haben uns dort aber auch schon Gedanken uber allgemeine
logische Systeme
gemacht und eine
logische Folgerung
als eine Relation
|
=zwischenFormelnF, G
bzw. Mengen von Formeln
F
,
G
beschrieben:
F|
=
G
gdw.
Mod(
F
)
⊆
Mod(
G
)
G
sind.
Unter Benutzung dieser Folgerungsrelation hatten wir in Kapitel 3 die
Folgerungs-
operation Cn
(
consequence operation
) auf der Menge aller Formeln 2
Form
(wobei
Form
:= Formel(Σ) die Menge aller Formeln zu einer gegebenen Signatur Σ ist)
definiert:
folgt also logisch aus
F
, wenn alle Modelle von
F
auch Modelle von
G
Form
2
Form
Cn
:
→
Cn
(
F
)=
{
G
∈
Form
|F|
= G
}
Eine Formelmenge
F
wird als
deduktiv abgeschlossen
bezeichnet, wenn
Cn
(
F
)=
F
(7.1)
gilt, wenn also die Anwendung des Operators
Cn
zu keinen neuen Erkenntnissen
mehr fuhrt. Eine (deduktiv abgeschlossene) Theorie ist folglich nach Gleichung (7.1)
ein
Fixpunkt
des Operators
Cn
. Auch in der klassischen Logik begegnen wir also
in naturlicher Weise dem Fixpunkt-Gedanken, der fur die Default-Logik so wichtig
ist.
Da die klassisch-logische Folgerungsrelation immer
alle
Modelle, d.h. alle er-
denklichen Moglichkeiten, mit einbezieht, ist
Cn monoton
,d.h.
aus F⊆H folgt
Cn
(F) ⊆
Cn
(H)
(7.2)
