Applications in Solid Mechanics - Fundamentals of Finite Element Analysis - page 334

Equation 6.37 are

1
2 A [( x 2 y 3 −

N 1 ( x , y ) = x 3 y 2 ) + ( y 2 − y 3 ) x + ( x 3 − x 2 ) y ]

1
2 A (

= 1 + 1 x + 1 y )

1
2 A [( x 3 y 1 −

N 2 ( x , y ) = x 1 y 3 ) + ( y 3 − y 1 ) x + ( x 1 − x 3 ) y ]

1
2 A (

= 2 + 2 x + 2 y )

(9.28)

1
2 A [( x 1 y 2 −

N 3 ( x , y ) = x 2 y 1 ) + ( y 1 − y 2 ) x + ( x 2 − x 1 ) y ]

1
2 A (

= 3 + 2 x + 3 y )

so the required partial derivatives are
∂ N 1

∂

1
2 A ( y 2 −

1
2 A

= y 3 ) =

x

∂ N 2

∂

1
2 A ( y 3 −

2
2 A

∂ N 3

∂

1
2 A ( y 1 −

3
2 A

= y 1 ) = = y 2 ) =

x x

(9.29)

∂ N 1

∂

1
2 A ( x 3 −

1
2 A

= x 2 ) =

y

∂ N 2

∂

1
2 A ( x 1 −

2
2 A

∂ N 3

∂

1
2 A ( x 2 −

3
2 A

= x 3 ) = = x 1 ) =

y y

The [ B ] (strain-displacement) matrix is then

y 2 − y 3 y 3 − y 1 y 1 − y 2 0 0 0

1
2 A

[ B ] =

0 0 0 x 3 − x 2 x 1 − x 3 x 2 − x 1

x 3 − x 2 x 1 − x 3 x 2 − x 1 y 2 − y 3 y 3 − y 1 y 1 − y 2

1 2 3 000
000

1
2 A

(9.30) =

1 2 3

1 2 3 1 2 3

Noting that, for constant thickness, element volume is tA , substitution into Equa-
tion 9.24 results in

1 0 1

1 2 3 000

2 0 2 1 0

Et
4 A (1

3 0 3 1 0

[ k ] =

000 1 2 3

−

2 )

0 1 1

00 1

−
2

1 2 3 1 2 3

0 2 2

0 3 3

(9.31)