Transformation - Mathematics for Computer Graphics - page 84

but

a 2 + b 2 + c 2 =1 c 2 =1 a 2 b 2

⇒ − −

substituting c 2 in E 1 , 1
E 1 , 1 = a 2 + 1

cos α

a 2 b 2 + a 2 b 2

− −

1 − b 2

E 1 , 1 = a 2 + 1

a 2 1 b 2

− −

cos α

1 − b 2

E 1 , 1 = a 2 + 1 a 2 cos α

−

E 1 , 1 = a 2 (1 − cos α )+cos α

Let

K =1 − cos α

then

E 1 , 1 = a 2 K +cos α

To find E 1 , 2

E 1 , 2 =cos φ cos θ sin θ − cos φ sin θ cos θ cos α − sin φ cos θ sin α

1 1

a a

√ 1

b 2

√ 1

b 2 cos α E 1 , 2 = · − · b − · b · −

b 2 b 2 − −

1

c

√ 1

− · − b 2 sin α

− b 2

E 1 , 2 = ab − ab cos α − c sin α

E 1 , 2 = ab (1 − cos α ) − c sin α

E 1 , 2 = abK − c sin α

To find E 1 , 3

E 1 , 3 =cos φ sin φ cos 2 θ +cos φ sin φ sin 2 θ cos α +sin 2 φ sin θ sin α
+cos 2 φ sin θ sin α cos φ sin φ cos α

E 1 , 3 =cos φ sin φ cos 2 θ +cos φ sin φ sin 2 θ cos α +sin θ sin α sin 2 φ +cos 2 φ
− cos φ sin φ cos α
E 1 , 3 =cos φ sin φ cos 2 θ +cos φ sin φ sin 2 θ cos α +sin θ sin α

−

− cos φ sin φ cos α

· 1 b 2 +

a c a c

b 2 cos α + b sin α

E 1 , 3 = √ 1 · √ 1 − √ 1 · √ 1 ·

− b 2 − b 2 − b 2 − b 2

a c

− √ 1 · √ 1

b 2 cos α

− b 2 −